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nombres complexes
Posté : mar. 22 févr. 2011 14:55
par clara
Bonjour, je souhaiterais que vous m'aidiez pour l'exercice suivant sur lequel je suis depuis maintenant 2 jours mais dont je ne me sors pas.
Soit un nombre réel téta compris entre 0 et pi.
On considère le nombre complexe z=e^i*téta et l'on pose Z=(1+z)/(1-z)
a) Montrer que Z= i / tan(téta/2)
b) Donner en fonction de téta, le module et un argument de Z,
c) Même question qu'en b) mais en supposant téta entre pi et 2pi.
Re: nombres complexes
Posté : mar. 22 févr. 2011 21:55
par sos-math(22)
Bonsoir Clara,
Je te donne une indication afin de t'aider à commencer ton calcul.
(Afin de simplifier, je remplace téta par la lettre \(a\).)
\(\frac{1+z}{1-z}=\frac{1+cosa+isina}{1-cosa-isina}\).
Après simplification, tu vas obtenir : \(=\frac{isina}{1-cosa}\).
Il te faudra ensuite remarquer que : \(tan(\frac{a}{2})=\frac{sina}{1+cosa}\).
Bon courage.
Re: nombres complexes
Posté : jeu. 3 mars 2011 16:01
par Lola
Bonjour, je ne vois pas comment trouver que (1+z) / (1-z) = (i sin(a)) / (1 - cos(a)) et que tan(a/2) = (sin(a)) / (1+cos(a))
Re: nombres complexes
Posté : jeu. 3 mars 2011 19:27
par sos-math(20)
Bonsoir Clara,
Je vais essayer de te donner une autre piste qui t'aidera peut-être : il s'agit ici de faire une factorisation "forcée" du numérateur et du dénominateur; cette technique est très utilisée dans ce type d'exercice. Pour vérifier et comprendre la factorisation que je te propose, tu pourras par exemple développer le troisième quotient et voir ainsi qu'il est bien égal au second quotient; cela te fera ainsi un petit exercice supplémentaire sur les exponentielles complexes.
\(\frac{1+z}{1-z}=\frac{1+e^{ia}}{1-e^{ia}}=\frac{e^{\frac{ia}{2}}(e^{\frac{-ia}{2}}+e^{\frac{ia}{2}})}{e^{\frac{ia}{2}}(e^{\frac{-ia}{2}}-e^{\frac{ia}{2}})}=\frac{e^{\frac{-ia}{2}}+e^{\frac{ia}{2}}}{{e^{\frac{-ia}{2}}-e^{\frac{ia}{2}}}\).
Il te reste maintenant à établir que le dénominateur est égal à \(sin(\frac{a}{2})\times{-2i}\) et que le numérateur est égal à \(2cos(\frac{a}{2})\) ; pour cela utilise la définition de l'exponentielle complexe et les propriétés des cosinus et des sinus pour simplifier ce que tu peux simplifier.
Tu pourras enfin trouver l'expression de Z qui t'est demandée en réorganisant un peu ton quotient.
Bon courage.
SOS-math
Re: nombres complexes
Posté : ven. 4 mars 2011 15:07
par Lola
Bonjour, Merci pour la question a que j'ai pu réussir avec votre aide, et pourriez-vous me donner quelques conseils pour la question b également s'il vous plait?
Merci d'avance.
Re: nombres complexes
Posté : ven. 4 mars 2011 17:30
par sos-math(20)
Bonjour Lola,
L'écriture trouvée au a) devrait vous permettre de trouver sans trop de mal l'écriture exponentielle de Z et donc, par la même occasion, le module et un argument de Z.
Une petite indication tout de même : il va falloir vous préoccuper du signe de \(tan(\frac{a}{2})\) en fonction de a. C'est pour cette raison qu'il y a une question b) et une question c).
Bon courage.
SOS-math