SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un dm à faire sur l'irrationnalité de e
Voici l'énoncé:
Le but du problème est de montrer que le nombre e n'est pas un nombre rationnel.
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xexp(1-x).
1) Etudier les variations de f; on précisera ses limites en -oo et en +oo.
2) Tracer la courbe C.
3) Calculer l'intégrale : \(I_{1}\) =\(\int_{0}^{1}f(x)dx\) et donner une interprétation géométrique de celle-ci.

Voici ce que je propose :
1)On dérive f et on étudie son signe.
On trouve f'(x)= exp(1-x) (1-x).
f'(x) est donc du signe de 1-x donc f est croissante sur ]-oo;1] et décroissante sur [1;+oo[
Pour les limites :
lim(en -oo) f(x) = -oo car lim (en -oo)x =-oo et lim exp(1-x) (en-oo)=+oo car lim 1-x (en -oo) =+oo et lim exp y(y tend vers +oo)=+oo
lim f(x) (en +oo) =0 car lim (en +oo) x exp(1-x) =0 car lim x^n exp (-x) (en +oo) =0

2) Voir le fichier Geogebra ci-joint

3) On pose :
pour tout x de [0;1], u'(x) = exp(1-x) et v(x) = x
On a :
pour tout x appartenant à [0;1], u(x) = -exp(1-x) et v'(x) = 1
u' et v' sont continues sur [0;1].
Donc en intégrant par parties :
\(I_{1}\) = [-xexp(1-x)](de 0 à 1) - \(\int_{0}^{1}-exp(1-x)dx\)
= -2 +e
Interprétation géométrique:
Cela correspond à l'aire située entre les deux droites d'équations x=0 et x=1, la courbe C et l'axe des abscisses.

Partie B
Pour tout entier n>(ou égal) 1, on pose \(I_{n}\) = \(\int_{0}^{1}x^n exp (1-x)dx\)
1a) Montrer que, pour tout x de [0;1] :
x^n<(ou égal) x^n exp (1-x)<(ou égal) e x^n
b)Exprimer en fonction de l'entier n l'intégrale :
\(J_{n}\)=\(\int_{0}^{1}x^ndx\)
c) En déduire que, pour tout n>(ou égal) 1, 1/(n+1) <(ou égal) \(I_{n}\)<(ou égal) e/(n+1)

2) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout n >(ou égal) 1, on a \(I_{n+1}\)=(n+1)\(I_{n}\)-1

3) Pour tout entier n>(ou égal) 1, on pose \(k_{n}\)=n!e-\(I_{n}\)
a) Exprimer \(k_{n+1}\) à l'aide de \(k_{n}\).
b) Calculer \(k_{1}\) ( on pourra utiliser le A 3))
En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que n, que \(k_{n}\) est un nombre entier pour tout n>(ou égal) 1.
c) Montrer que, quel que soit l'entier n >(ou égal) 2, le nombre n!e=\(k_{n}\)+\(I_{n}\), n'est pas un nombre entier.

4) Soit p et q deux entiers strictement positifs.
Montrer que, pour n>(ou égal) q, (n!p)/q est un nombre entier.
En déduire, à l'aide de 3)b) et c), que e n'est pas un nombre rationnel(on pourra raisonner par l'absurde).

J'ai plus de mal pour cette partie.
Voici ce que je propose:
1a) pour tout x de [0;1] et pour tout n de N*, on a :
1<(ou égal) exp(1-x)<(ou égal) e
soit x^n <(ou égal) exp(1-x) x^n<(ou égal) e x^n
Pour justifier le passage de la 1ere à la 2eme ligne je ne sais pas s'il faut que je dise que x^n est croissante pour tout n de N* et pour tout x de [0;1] ou bien que x^n est positif pour tout n de N* et pour tout x de [0;1].

b) Une primitive de x-->x^n est x--> (x^(n+1))/(n+1)
Donc \(J_{n}\)= [(x^(n+1))/(n+1)] (de 0 à 1)
= (1^(n+1)) /(n+1)
= 1/(n+1)

C'est pour la suite que je bloque.
Merci d'avance pour une petite aide.
Gilles

Bonsoir et merci bien de votre réponse.
Pour la 1c) je trouve ce qu'il faut.

Voici ce que je propose pour la 2)
pour tout n de N*, on a \(I_{n+1}\)=\(\int_{0}^{1}x^(n+1) exp(1-x)dx\).
On pose:
pour tout x de [0;1], u'(x)=exp(1-x) et v(x) =x^(n+1).
on a :
pour tout x de [0;1], u(x) = -exp(1-x) et v'(x) = (n+1)x^n
u' et v' sont continues sur [0;1].
Donc en intégrant par parties:
\(I_{n+1}\)=[-exp(1-x) x^(n+1)] (de 0 à 1) - \(\int_{0}^{1}-exp(1-x) (n+1) x^ndx\)
= -1 + (n+1) \(\int_{0}^{1}e(1-x) x^ndx\)
= -1 + (n+1) \(I_{n}\)

3a) Je bloque à nouveau ici car je n'arrive pas à rétrouver \(k_{n}\) dans l'expression de \(k_{n+1}\)
Je trouve pour tout n de N*, \(k_{n+1}\)= (n+1)! e - \(I_{n+1}\)

Merci d'avance et bonne soirée.
Gilles

Bonjour,
j'ai avancé dans ce DM donc je vous envoie ce que j'ai fait.
Pour la 3a) je pense avoir compris:
pour tout n de N*,
\(k_{n+1}\)=(n+1)!e -\(I_{n+1}\)
Or \(I_{n+1}\)= -1 +(n+1) \(I_{n}\) d'après la question 2)
donc on obtient:
\(k_{n+1}\)=(n+1)!e -\(I_{n+1}\)
= (n+1)!e +1 -(n+1)\(I_{n}\)
= (n+1)!e +1 -(n+1) (n!e -\(k_{n}\)) car \(k_{n}\)= n!e -\(I_{n}\)
= (n+1)!e -(n+1) (n!e) +(n+1)\(k_{n}\) +1
= (n+1) \(k_{n}\) +1 car (n+1)!=(n+1)n!
3b) On a :
\(k_{1}\)= 1! e -\(I_{1}\)
= e -\(I_{1}\)
= e+2-e (car \(I_{1}\) = e -2 d'après A.3))
=2

Pour la récurrence je ne sais pas si c'est assez complet. Voici ce que je propose :
On veut prouver que pour tout n de N*, \(k_{n}\) est un nombre entier.
On pose pour tout n de N*, (\(H_{n}\)) : \(k_{n}\) est un nombre entier.
Initialisation :
pour n =1
\(k_{1}\)= 2 et 2 est un entier
Donc (\(H_{1}\)) est vraie.

Hérédité

On veut prouver que pour tout n de N*, ((\(H_{n}\)) --> (\(H_{n+1}\))).
On suppose que (\(H_{n}\)) est vraie;
on veut en déduire que (\(H_{n+1}\)): \(k_{n+1}\) est un nombre entier est vraie.
On a : \(k_{n+1}\) =(n+1)\(k_{n}\) +1
Or d'après (\(H_{n}\)), \(k_{n}\) est un nombre entier.
De plus pour tout n de N*, (n+1) est un entier et de plus 1 est un entier.
Donc \(k_{n+1}\) est un nombre entier.

Conclusion : on a prouvé par récurrence que pour tout n de N*, (\(H_{n}\)) est vraie.

Cela vous semble t il assez justifié?
Pour le reste du devoir je bloque à nouveau.
Je pense que pour la c) il faut faire une récurrence mais je n'y arrive pas.
Bonne journée et merci d'avance. (si je trouve je posterais ce que j'aurais trouvé entre temps).

Bonjour et merci bien.
Je bloque pour la question 3-c).
Pouvez vous m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance et bonne soirée.
Gilles

Bonjour Gilles,

Pour la question 3a), il faut utiliser le fait que \((n+1)! = (n+1)\times{}n!\) et que \(I_{n+1}=(n+1)I_n-1\).

SoSMath.

Bonjour,
je comprend pas trop en quoi cela va m'être utile car il faut que n!e=\(k_{n}\)+\(I_{n}\) ne soit pas un entier.
On a démontrer pourtant précédement que \(k_{n}\) est un entier.
Si je comprend bien votre raisonnement, comme \(k_{n}\) est un entier et \(I_{n}\) ne l'est pas alors comme n!e en est la somme, alors il n'est pas entier ce qui semble plutôt logique.
Pour démontrer que \(I_{n}\) n'est pas un entier, voici ce que je propose:
d'après 1c) on a pour tout n de N*,
1/(n+1) <(ou égal) \(I_{n}\)<(ou égal) e/(n+1)
donc pour tout n >(ou égal) 2, on a:
1/(n+1) <(ou égal) \(I_{n}\)<(ou égal) e/(n+1)
De plus 0<1/(n+1) <1 pour tout n >(ou égal) 2
et 0< e/(n+1) <1 pour tout n >(ou égal) 2.
De plus pour tout n>(ou égal) 2, 1/(n+1) < e/(n+1).
Donc pour tout n >(ou égal) 2, 0< \(I_{n}\)<1
Donc \(I_{n}\) n'est pas un entier donc n!e n'est est pas un.

Cela vous semble t il assez justifié?
Merci d'avance et bonne soirée.

Gilles

Bonjour Gilles,

Cela semble correcte, même si je ne vois pas l'utilité de la phrase :
"De plus pour tout n>(ou égal) 2, 1/(n+1) < e/(n+1)."

SoSMath.

Bonsoir et merci pour votre réponse.
La phrase ne sert en effet à rien, veulliez m'excuser.
On arrive donc à la dernière question, la 4) qui est la plus difficile je pense.
Pour prouver que (n!p)/q est un nombre entier je ne sais pas quoi faire.
Cela semble pourtant assez logique car n>(ou égal) q mais je ne vois pas comment y arriver.
J'ai pensé que comme n>(ou égal) q et q>0 donc n!/q est forcément un entier car n!=n(n-1)(n-2)...q(q-1)...x2x1 et comme p est un entier positif alors (n!p)/q est un entier.
Est-ce juste selon vous?
Si oui comment réussir à rédiger cela?

Merci d'avance et bonne soirée
Gilles.

Gilles,

ce que tu as écrit est juste et permet de justifier la réponse !

SoSMath.

Merci infiniment.
Pour prouver ensuite que e n'est pas un nombre rationnel on raisonne par l'absurde:
e est un nombre rationnel donc n!e est un nombre entier. Par conséquent \(k_{n}\) et \(I_{n}\) sont tous les deux des nombres entiers.
Cela est vrai pour \(k_{n}\). Cependant pour tout n>(ou égal) 2, \(I_{n}\) n'est pas un nombre entier d'après 1c).
On a donc bien prouvé par l'absurde que e n'est pas un nombre rationnel.

Cela vous smble assez justifié on ai-je oublié quelque chose selon vous?
Merci bien encore une fois et bonne soirée.
Gilles.

Gilles,

Ce que vous écrivez est juste mais imprécis ... il faut préciser que n > q.

supposons que e soit un rationnel.
alors il existe p et q deux entiers naturels tels que \(e=\frac{p}{q}\).
Or pour tout entier n, on sait que \(n!e=k_n+I_n\), donc ceci est vrai pour n > q.
Or \(n!e=\frac{n!p}{q}\) et d'après ce qui précède, \(\frac{n!p}{q}\) est un entier pour n > q.
Donc \(k_n+I_n\) est un entier.
.... à toi de terminer.

SoSMath.