SOS-MATH

Bonjour,
Je suis en première année de licence et il n'y a pas de rubrique pour ça donc je demande de l'aide à ma question ici.

Enoncé:
On considère la suite (Un) définie par:
u1=100 et pour n>=1 (n supérieur ou égale à 1), nU(n+1)=Un*ln(n+1)

a) Exprimer u2 et u3 en fonction de u1.
J'ai réussie cette question et j'ai trouvé que u2=u1ln(2) et u3=(u1*ln(2)*ln(3))/(2).

b)Montrer qu'il existe un nombre entier n0 (n sous indice 0) tel que pour tout n>=n0 on est : 0<(U(n+1))/(Un)=<(1/2)?
Ici j'ai fais écris l'égalité avec les données du texte et l'on obtient (ln(n+1)/n) =< 1/2
Je décide de le montrer par récurrence:
On a donc dans l'initialisation :
Pour n0 = 3 on sait que c'est vrai puisque on calcule et on s'aperçoit que environs 0,46 et plus petit que 0,5 soit le 1/2.

Hérédité:
On a l'hypothèse de récurrence suivante
2ln(n+1) =< n
<=> à exp(2ln(n+1) =< exp(n)
<=> à exp(2)*(n+1) =< exp(n)

Maintenant on veut montrer que
2ln((n+1)+1) =< n+1
<=> à exp(2ln(n+2)) =< exp(n+1)
<=> à exp(2)*(n+2) =< exp(n)*exp(1)
<=> (exp(2)*(n+2))/(exp(1)) =< exp(n)


On a donc
exp(n) > exp(2)*(n+1) > exp(n+2)
soit exp(n) > exp(n+2)
<=> exp(1)*exp(n) >= exp(2)*(n+2) car l'exponentielle est positive donc cela conserve l'ordre
<=> ln (exp(1)*exp(n)) >= ln (exp(2)*(n+2)) on peut multiplier par le logarithme népérien car ln est croissante.
<=> n+1 >= 2*ln(n+2)
<=> 1/2 >= (ln(n+2))/n

Cet démonstration est-elle juste?

Dans ce cas si oui, la question suivante ou l'on me demande dans déduire pour tout p appartenant à N étoile:

0<(U(n0+p))/(Un0)=<(1/2^P)?

La je suis bloqué, je ne vois pas comment faire?

Merci de me donner une piste svp.

Bonjour,
Effectivement, en théorie, nous ne répondons qu'à des problèmes du secondaire mais bon, je veux bien t'aider un peu...
Ta suite est définie par \(n\,U_{n+1}=U_n\times\,\ln(n+1)\) ce qu'on peu écrire :
\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\ln(n+1)}{n}\) Or, la suite \(\left(\frac{\ln(n+1)}{n}\right)\) tend vers 0 quand \(n\to\,+\infty\) (croissance comparée), ce qu'on peut écrire en quantificateurs :
\(\forall\,\epsilon>0\,\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall\,n\geq n_0,\frac{\ln(n+1)}{n}\leq\epsilon\) : tu connais ce genre d'écriture ?
Autrement dit si on prend \(\epsilon=\frac{1}{2}\), il existe un entier \(n_0\), tel que pour tout \(n\geq\,n_0\),
\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\ln(n+1)}{n}\leq\frac{1}{2}\)
Pour l'autre côté de l'inégalité, c'est assez évident car \(\frac{\ln(n+1)}{n}>0\) pour tout n>0
Voilà ma façon de répondre à la question : la récurrence me semble bien lourde (je n'ai pas dit que ta méthode est fausse mais cela me semble maladroit).
En revanche pour la démonstration suivante, il me paraît très judicieux de faire une récurrence sur \(p\geq\,1\)
l'initialisation est donnée par la question précédente...
Bon courage

Merci de votre réponse qui ma bien aider.

Cependant pour la récurrence je dois démontrer 0< (U(n0+p)/Un0) =< 1/2^(p) je suis partie de l'inégalité :

Selon l'initialisation quand p=1 ceci est vrai : 0< (U(n+1)/Un) =< 1/2
Pour montrer l'hérédité j'ai alors divisé par 2^(p) tout les menbres et comme 2^(p) est positif car p appartient à N étoile.
J'obtiens alors: 0< ((U(n+1)/Un)) / (2^(p)) =< (1/2)/(2^(p))
Ce qui me donne 0< (U(n+1)/ Un*2^(p)) =< 1/2^(p+1)
Ce qui me donne (2^(p))*(U(n+1)/ Un*2^(p)) < (2^(p))*(1/2^(p+1))
Donc j'obtiens : (U(n+1)/Un) =< 1/2^(p)
Et comme on a la suite (Un) décroissante car la limite de ln(n+1)/n qui tend vers 0 on aura (U(n0+p)/Un0) =< (U(n+1)/Un)

Est-ce-que ma démarche est cohérente, ou est-ce-que j'ai faux?
Merci de vouloir m'aider.

Bonjour Benjamin,

ta récurrence est fausse !
Il faut montrer la propriété \(P_p:0<\frac{u_{n_0+p}}{u_{n_0}}\leq\frac{1}{2^p}\) où p est un entier > 0.

* Tout on vérifie le 1er rang : p=1. voir la question précédente.

* On suppose que pour p >0, \(P_p\) est vraie. Il faut alors montrr qu'elle est vrai au rang p+1.

Par hypothèse de récurrence \(0<\frac{u_{n_0+p}}{u_{n_0}}\leq\frac{1}{2^p}\) (1)
A la question b) on a montrer que pour tout n >n0 \(0<\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq\frac{1}{2}\)
Comme n0+p+1 > n0, alors on a \(0<\frac{u_{n_0+p+1}}{u_{n_0+p}}\leq\frac{1}{2}\) (2)

Comme les inégalités (1) et (2) sont positives, tu peux les multiplier membre à membre et ainsi après simplification tu auras démontré que \(P_{p+1}\) est vraie.

Donc par récurrence ta propriété \(P_p\) est vraie pour tout p >0.

Bon courage,
SoSMath.