SOS-MATH

Bonjours,
on a l' exercice :
Appelons f la transformation qui a tout point M d'affice z (different d 0) on associe le point M' d'affixe z' tel que z'=1/\(\overline{z}\)
On a le cercle de centre O et de rayon 1 est l'ensemble des points invariants de f
et vecteur{OM'}=1/(OM^2) vecteur{OM} et O,M,et M' alignés.
De plus,on M un point exterieur du cercle et T un des ppoints du cercle tel que (MT) soit une tangante de c.
1)On doit prouver que (oM) et (M'T) sont perpendiculaires
2)on trouve que si M a pour image M' ,alors M' a pour image M donc on doit en deduire la construction de l'image de M lorsque M est a l'interieur du cercle
3)Examinez les images des deux ensembles suivants :
a- le cercle R de centre A d'affixe i et de rayon 1 ,privé de O
b-le cercle S de centre A d'affixe i et de rayon \(\sqrt{2}\)
4)on considere que M est un point mobile sur R et son inverse M' et de meme pour S
a-prouver que M appartient a R equivaut a z\(\overline{z}\) -i \(\overline{z}\) +iz=0
b-demontrer que R' est l'ensemble des points M' tels que : 1-i\(\overline {z}\)' +iz'=0
c-en posant z'=x'+iy' prouver que cette relation s'ecrit y=1/2 ( moi j'arrive a 2y'=0)
merci.

Bonsoir Anne,

A la fin je trouve y' = 1/2 pas y = 1/2 : la relation donne 1-ix'-y'+ix'-y'=0 d'où mon résultat.

Bonne continuation

Pourtant dans l'exercice on doit prouver que y=1/2 .
mais comment montrer que les doites (OM) ET (M'T) sont perpendiculaires?
et je ne comprend pas la question 3

Re bonsoir,

Cela me semble absurde que ce soit y =1/2, si z est sur le cercle S et si y = 1/2 alors M ne varie pas sur S, il est fixé soit sur M1 ou M2 points d'intersections du cercle S et du cercle de centre O et de rayon 1.
Par contre y'=1/2 correspond bien à l'équation de la droite qui est l'image du cercle S, à savoir la droite (M1M2).

Je regarde le début, je croyais qu'il n'y avait que la question 4c qui posait problème.

A bientôt sur le forum

est ce qu'il y'a d'autres problemes dans cet exercice?

Voici une aide pour la question 1)

Pour démontrer que M'T et MM' sont perpendiculaire, je te propose une méthode analytique :
Au début il faut savoir que le rayon (OT) et (MT) sont perpendiculaires.
Commence par exprimer\(x^,\) et \(y^,\) en fonction de \(x\) et \(y\)
On pose \(T(a,b\)) et \(M(x,y)\) d'où \(\vec{OM}:(x;y)\) et \(\vec{TM}:(a-x;b-y)\) tu en tires le relation \(ax+by=1\) en utilisant le produit scalaire qui vaut 0 puisqu'il y a orthogonalité.
Ensuite \(\vec{M^,T}:(a-x^,;b-y^,)\) et \(\vec{0M}:(x;y)\) tu calcules le produit scalaire et en utilisant la relation précédente tu obtiens 0 d'où l'orthogonalité de (OM) et de (M'T).

Pour la question 3 :

Je pense que tu dois construire plusieurs images, sachant déjà que celles des points d'intersection avec le cercle de centre O et de rayon 1 sont invariants.
Tu dois trouver une droite pour R' et un cercle pour S'.
La question 4 te permet de donner une équation de la droite.

Bonne continuation.

Moi je trouve que ax+by=x^2+y^2 car le produit scalaire de OM.TM=x(a-x)+y(b-y)=0
ax+by=x^2+y^2

Pardon, j'ai écris (OT) et (MT) perpendiculaire et je t'ai fais les calculs avec \(\vec{OM}\) et \(\vec{MT}\), toutes mes excuses.
Il faut donc lire :
On pose T(a,b) et M(x,y) d'où \vec{OT}:(a;b) et \vec{TM}:(a-x;b-y) tu en tires le relation ax+by=1 en utilisant le produit scalaire qui vaut 0 puisqu'il y a orthogonalité.

Bon courage

c'est pas grave,l'erreur est humaine.
Mais quand jr fait OT.TM je trouve a^2+b^2=ax+by
et pour M'T.OM=xx'+yy'-(ax+by)
et comment peut-on exprimer x' en fonction de x et y' en fonction de y on sait que [/TeX]\overline{z} \([TeX]\)
donc x'+iy'=1/(x-iy)

Comme T est sur le cercle de centre O et de rayon 1 : tu as a²+b²=1.
On a \(z^,=\frac{z}{|z|^2}\) formule obtenue en multipliant par \(z\) le dénominateur et le numérateur de \(z^,\).
Tu peux en déduire \(x^,\) et \(y^,\) en fonction de \(x\) et de \(y\).
Ensuite en remplaçant dans ta seconde égalité il va te rester 1 - 1 ...

Bonne continuation

Donc x'=1/x et y'=1/y?

Surtout pas, relis le dernier message : tu as \(z^,=\frac{z}{|z|^2}\) donc \(x^,+iy^,=\frac{x+iy}{x^2+y^2}\) déduis-en \(x^,\) et \(y^,\).
Vérifie en suite que \(xx^,+yy^, = 1\) et conclus pour le produit scalaire.

Bon courage, peut-être à demain

merci.S'il vous plait derniere question :celle de 4.b sur l'ensemble R'

Pour la question 4b, divise l'égalité du 4a par \(z\overline{z}\) et pense que \(\frac{1}{z}=\overline{z^,}\) pour obtenir la relation du 4b.

Bonne fin d'exercice