SOS-MATH

bonsoir,
on a : a et b sont deux réels tels que 0\(leq\) a \(leq\) b .Les suites (Un) et (Vn) sont definies par Uo= a et Vo= b et pour tout entier n :
\(\u_{n+1}\) = \(\sqrt{Un.Vn}\) et \(\V_{n+1}\) = (Un+ Vn ) /2
avec Un et Vn positives.
1-prouver que Un \(\leq\) Vn
2-a)Demontrer que pour tout n, \(\v_{n+1}\) \(\leq\) 1/2( Vn - Un)
b)deduisez-en que Vn - Un \(\leq\) (1/2^n) (b-a)
3-Prouver que les suites sont adjacentes.
j'arrive pas a repondre aidez moi s'il vous plait

Bonjour Mathilde,

La suite \(u_n\) est la suite formée par les moyennes géométriques (\(g=\sqrt{2ab}\)) des termes précédents et la suite \(v_n\) est la suite formée par les moyennes arithmétiques (\(m=\frac{a+b}{2}\)) des termes précédents.
Question 1 : Calcule \(m-g\) et vérifie que \(m-g =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\) et déduis-en que \(m-g\geq{0}\) applique ceci à \(u_n\) et à \(v_n\)et conclus.

Question 2 a) il manque une partie de la question, à me renvoyer l'énoncé.

Bon courage pour le début, à bientôt sur le forum

...2) a ) démontrer que pour tout n ,
\(\V_{n+1}\) - \(\U_{n+1}\)\(\leq\) 1/2 ( Vn - Un)
b) deduisez-en que Vn - Un \(\leq\) (1/2^n) (b-a)
Voila :)

Bonsoir Mathilde,

Je pense que tu dois démontrer que \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq\frac{v_n-u_n}{2}\).

Si tu fais la différence : \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq\frac{v_n-u_n}{2}\) tu obtiens après simplifications : \(u_n-\sqrt{u_nv_n}\), utilises le résultat de la question 1 pour conclure.
Le 2b s'obtient par récurrence.
Pour le 3) tu as d'après le 2b \(\lim_{n \to +\infty}(v_n-u_n)=0\), démontre ensuite que \(u_n\) est croissante et \(v_n\) décroissante pour finir.

Bon courage

je n'arrive pas a finir la recurrence :
V_(k+1) - U(k+1) \(\leq\) (Vk-Uk)/2

Re bonsoir,

Tu as \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_n-u_n}{2}\) puis \(v_{n}-u_{n}\leq{\frac{v_{n-1}-u_{n-1}}{2}\) donc\(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_{n-1}-u_{n-1}}{4}\) et ainsi de suite : \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_{n-2}-u_{n-2}}{8}\) ... En descendant jusqu'à l'indice 0 cela va te donner la relation voulue.
Ce n'est pas une vraie démonstration par récurrence.

Bonne continuation

apres on nous dit que a=2 et b=5 , determinez la limite commune des suites a 10^-3 pres.Je sais que puisqu'elles convergent alors elles ont la meme limite.mais je ne sait pas comment la trouver

Calcules les premiers termes de la suite, dès que tu trouves un écart inférieur à 0,001 tu as un encadrement de la limite. (il n'y en a pas beaucoup à calculer)

Bon courage