Exercice sur Complexes
Posté : lun. 24 janv. 2011 19:55
Bonsoir
J'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre au sujet des complexes
Voici l'exercice
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (0;\(\overrightarrow{u}\);\(\overrightarrow{v}\))
On considère les points M\(\u_{n}\) d'affixe z\(\u_{n}\)=\(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)(1+i\(\sqrt{3}\)) où n est un entier naturel.
1) Démontrer que (z\(\u_{n}\)) est une suité géométrique, donner sa raison et son premier terme.
Donner z\(\u_{0}\), z\(\u_{1}\), z\(\u_{2}\), z\(\u_{3}\) et z\(\u_{4}\) sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2) Placer les points M\(\u_{0}\), M\(\u_{1}\), M\(\u_{2}\), M\(\u_{3}\) et M\(\u_{4}\) (unité graphique 4cm)
3) Démontrer la distance OM\(\u_{n}\) en fonction de n.
4)a) Montrer que l'on a M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= \([tex]\)\frac{\(\sqrt{5}\)}{\(10^{n}\)}[/tex] pour tout n entier naturel.
4)b) On pose L\(\u_{n}\)= somme des M\(\u_{k}\)M\(\u_{k+1}\) de k=o jusqu'à n, c'est-à-dire: L\(\u_{n}\)=M\(\u_{0}\)M\(\u_{1}\)+M\(\u_{1}\)M\(\u_{2}\)+...+M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\).
Déterminer L\(\u_{n}\) en fonction de n puis limite de L\(\u_{n}\) quand n tend vers +\(\infty\).
5) Déterminer une mesure de l'angle (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX]) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n les points O, M\(\u_{0}\) et M\(\u_{n}\) sont-ils alignés?
Cet exercice nous a été donné en bac blanc et on doit le refaire en DM.Lors du bac blanc je n'a réussi qu'à faire les questions 1 et 2.
je ne vois pas comment faire les questions 3, 4 et 5 malgré les débuts de piste de notre professeur:
3) OM\(\u_{n}\)= I z\(\u_{n}\)I
4) M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= I z\(\u_{n+1}\)- z\(\u_{n}\) I
5) (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX])= arg \([tex]\)\frac{z\(\u_{n}\)-0}{z\(\u_{0}\)-0}[/tex]
J'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre au sujet des complexes
Voici l'exercice
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (0;\(\overrightarrow{u}\);\(\overrightarrow{v}\))
On considère les points M\(\u_{n}\) d'affixe z\(\u_{n}\)=\(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)(1+i\(\sqrt{3}\)) où n est un entier naturel.
1) Démontrer que (z\(\u_{n}\)) est une suité géométrique, donner sa raison et son premier terme.
Donner z\(\u_{0}\), z\(\u_{1}\), z\(\u_{2}\), z\(\u_{3}\) et z\(\u_{4}\) sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2) Placer les points M\(\u_{0}\), M\(\u_{1}\), M\(\u_{2}\), M\(\u_{3}\) et M\(\u_{4}\) (unité graphique 4cm)
3) Démontrer la distance OM\(\u_{n}\) en fonction de n.
4)a) Montrer que l'on a M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= \([tex]\)\frac{\(\sqrt{5}\)}{\(10^{n}\)}[/tex] pour tout n entier naturel.
4)b) On pose L\(\u_{n}\)= somme des M\(\u_{k}\)M\(\u_{k+1}\) de k=o jusqu'à n, c'est-à-dire: L\(\u_{n}\)=M\(\u_{0}\)M\(\u_{1}\)+M\(\u_{1}\)M\(\u_{2}\)+...+M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\).
Déterminer L\(\u_{n}\) en fonction de n puis limite de L\(\u_{n}\) quand n tend vers +\(\infty\).
5) Déterminer une mesure de l'angle (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX]) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n les points O, M\(\u_{0}\) et M\(\u_{n}\) sont-ils alignés?
Cet exercice nous a été donné en bac blanc et on doit le refaire en DM.Lors du bac blanc je n'a réussi qu'à faire les questions 1 et 2.
je ne vois pas comment faire les questions 3, 4 et 5 malgré les débuts de piste de notre professeur:
3) OM\(\u_{n}\)= I z\(\u_{n}\)I
4) M\(\u_{n}\)M\(\u_{n+1}\)= I z\(\u_{n+1}\)- z\(\u_{n}\) I
5) (\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{0}\)}[/TeX];\([tex]\)\overrightarrow{OM\(\u_{n}\)}[/TeX])= arg \([tex]\)\frac{z\(\u_{n}\)-0}{z\(\u_{0}\)-0}[/tex]