SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un DM à faire mais je ne comprend quasiment rien. Surtout avec les questions sur les barycentres.
On définit deux suites de points (\(A_{n}\))(avec n appartenant à N) et (\(B_{n}\))(avec n appartenant à N) telles que, pour tout n appartenant à N,\(A_{n+1}\) est le barycentre de (\(A_{n}\),4) et (\(B_{n}\),1) et \(B_{n+1}\) est le barycentre de (\(A_{n}\),1) et (\(B_{n}\),3)

1) Prouver que, pour tout n appartenant à N,\(A_{n}\) et \(B_{n}\) sont sur la droite (\(A_{0}\)\(B_{0}\))

2) Sur une feuille de papier millimétré, placer \(A_{0}\) à 20cm de \(B_{0}\), puis construire \(A_{1}\),\(B_{1}\),\(A_{2}\),\(B_{2}\),\(A_{3}\),\(B_{3}\). Quelle conjecture peut-on faire sur les points \(A_{n}\) et \(B_{n}\) quand n deviens tès grand.

3) On muni la droite (\(A_{0}\)\(B_{0}\)) du repère (\(A_{0}\);1/20 A0B0(vecteur)). On notera \(a_{n}\) l'abscisse de \(A_{n}\) et \(b_{n}\) l'abscisse de \(B_{n}\), pour tout n appartenant à N.
a) A l'aide d'excel ou d'une calculette, calculer les dix premiers termes des suites (\(a_{n}\))(avec n appartenant à N) et (\(b_{n}\))(avec n appartenant à N). Affiner la conjecture du 2).
b) Pour tout n appartenant à N, exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et \(b_{n}\).

4) On définit la suite (\(c_{n}\))(avec n appartenant à N) par \(c_{n}\)=\(b_{n}\) - \(a_{n}\) pour tout n appartenant à N.
a) Prouver que la suite (\(c_{n}\))(avec n appartenant à N) est géométrique. En préciser sa raison. En déduire sa limite en l'infini et le signe de tous ses termes.
b) Déterminer le sens de variation de la suite (\(a_{n}\)) puis de la suite (\(b_{n}\)).
c) Que peut-on déduire des questions précédentes pour les suites (\(a_{n}\)) et (\(b_{n}\))?

5) On définit la suite (\(d_{n}\)) (avec n appartenant à n) par \(d_{n}\)= 4\(b_{n}\)+5\(a_{n}\) pour tout n appartenant à N.
a) Prouver que la suite (\(d_{n}\)) est constante.
b) Achever de prouver les résultats conjecturés aux 2) et 3) en précisant la limite de chaque suite considérée.

J'espère que vous pourrez m'aider .
Bonne soirée.

Bonjour Rémi,

si tu ne comprends rien aux barycentres, il faut alors revoir ton cours de 1ère S !

questions :
1) une récurrence peut être utile en utilisant le fait que si G est le barycentre de (A, k) et (B, k') alors G appartient à la droite (AB).
2) et 3a) à toi de la faire !
3b) il faut utiliser les coordonnées barycentriques ... voir ton cours de 1ère S.

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour,
veuillez m'excuser en fait ce n'est pas que je ne comprend pas les barycentres c'est que tout simplement avoir des barycentres avec des suites m'a quelque peu démoralisé.
Concernant la question 1) j'ai compris le principe mais je n'arrive pas à faire une récurrence avec cela.
Voici ce que je propose:
On pose pour tout n appartenant à N, (Hn) : \(A_{n}\) barycentre de (\(A_{0}\), 4) et (\(B_{0}\), 1)
Initialisation:
pour n =0
\(A_{1}\) barycentre de (\(A_{0}\),4) et (\(B_{0}\),1)
Donc (H0) est vraie.
Hérédité
On veut prouver que pour tout n appartenant à N, ((Hn)=>(Hn+1)).
On suppose que (Hn) est vraie;
on veut en déduire que (Hn+1) : \(A_{n+1}\) barycentre de (\(A_{0}\), 4) et (\(B_{0}\), 1) est vraie.
On a :

C'est à partir de là que je bloque. Je pense qu'il faut utiliser les hypothèses de l'énoncé mais je ne vois pas comment.

Merci d'avance.
Rémi

Bonjour Rémi,

tu n'as pas choisi la bonne propriété à démontrer !
Il faut démontrer : (Hn) An et Bn appartiennent à \((A_0B_0)\).
Initialisation : pour n = 1, A1 est le barycentre de \((A_0,4) et (B_0,1)\) donc A1 apparient à \((A_0B_0)\).
puis B1est le barycentre de ... à toi de terminer.

On suppose que (Hn) est vrai (donc An et Bn appartiennent à \((A_0B_0)\)).
Il faut alors démontrer (H(n+1)).

bon courage,
SoSMath.

Merci de m'avoir répondu si vite et d'être aussi patient.
Je pensais en faite faire 2 récurrences : une pour An et une pour Bn.
On pose pour tout n appartenant à N, (Hn) : An et Bn appartiennent à (\(A_{0}\)\(B_{0}\))
Initialisation
pour n =0
\(A_{1}\) est le barycentre de (\(A_{0}\),4) et (\(B_{0}\),1) donc \(A_{1}\) appartient à (\(A_{0}\)\(B_{0}\))
\(B_{1}\) est le barycentre de (\(A_{0}\),1) et (\(B_{0}\),3) donc \(B_{1}\) appartient à (\(A_{0}\)\(B_{0}\))
Donc (H0) est vraie.
Hérédité
On veut prouver que pour tout n appartenant à N, ((Hn)=>(Hn+1)).
On suppose que (Hn) est vraie;
on veut en déduire que (Hn+1) : \(A_{n+1}\) et \(B_{n+1}\) appartiennent à (\(A_{0}\)\(B_{0}\)).
On a : \(A_{n+1}\) barycentre de (\(A_{n}\),4) et (\(B_{n}\),1)
et \(B_{n+1}\) barycentre de (\(A_{n}\),1) et (\(B_{n}\),3)
Or d'après (Hn) An et Bn appartiennent à (\(A_{0}\)\(B_{0}\)).
Donc \(A_{n+1}\)et \(B_{n+1}\) appartiennent à (\(A_{0}\)\(B_{0}\))
Donc ((\(H_{n+1}\)) est vraie.
Par conséquent (Hn) est vraie pour tout n appartenant à N

Voilà ce que je propose. Est-ce assez justifié?
Merci d'avance.
Rémi.

Rémi,

il manque un peu de précision ....
On ne voit pas pourquoi tu passes de A(n+1) barycentre de (An, 4) et (Bn,1) à ... A(n+1) apprtient à (A0B0) !
Tu as : A(n+1) barycentre de (An, 4) et (Bn,1) donc A(n+1) appartient à (AnBn)
mais par hypothèse An et Bn appartiennent à (A0B0), donc (AnBn) et (A0B0) sont confondues.
Donc A(n+1) appartient aussi à (A0B0).
De même pour B(n+1).

SoSMath.

Merci bien pour votre aide,
Pour la question 2), j'ai placé les points en utilisant les barycentres:
par exemple \(A_{1}\) est le barycentre de (\(A_{0}\),4) et (\(B_{0}\),1)
donc \(A_{0}\)\(A_{1}\)(vecteurs) = 1/5 \(A_{0}\)\(B_{0}\) (vecteurs)
et ainsi de suite.
On peut observer une certaine symétrie des points par rapport au milieu de [\(A_{0}\);\(B_{0}\)].
Plus n devient grand plus \(A_{n}\) et \(B_{n}\) se rapprochent l'un de l'autre.

Concernant la question 3)a), on a déjà d'après la question précédente:
a1=4cm
b1=15cm
a2=31/5 soit 6,2cm
b2=12,25 cm
a3=7,41cm
b3=10,74cm
Pour la suite c'est à dire déterminer les vingt premiers termes je dois utiliser le même principe c'est à dire avec les vecteurs et les calculs qui vont avec (ce qui est assez long) où dois-je déterminer une suite qui me permet de les calculer?

Merci d'avance et bonne soirée.

Bonjour Rémi,

Pour la question 3a), il faut ultiliser un tableur pour aller plus vite ... sinon, comme tu le dis, les calculs risqent d'être longs.
Pour le 3b), je te rappelle qu'il faut utiliser les coordonnées barycentriques.

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour,
Je pense avoir compris le but de ce devoir maison.
Je sais que vous n’êtes pas ici pour corriger mais je poste ce que je propose pour que vous puissiez me dire si c’est ou non assez justifier et si je suis sur la bonne voie.
3)a) On peut voir que \(A_{n}\) et \(B_{n}\) se rapprochent, plus n est grand, d’un point d’abscisse d’environ égal à 8,889.
On peut conjecturer que ses deux suites tendent vers un même point d’abscisse environ égal à 8,889.(je n'ai pas réussi à mettre le tableau)
3b) On utilise les coordonnées barycentriques comme vous me l’avez conseillé,
On trouve alors \(a_{n+1}\)= (4\(a_{n}\)+ \(b_{n}\))/5
Et \(b_{n+1}\)= (\(a_{n}\)+ 3\(b_{n}\))/4
4)a) on calcule \(c_{n+1}\) et on trouve : \(c_{n+1}\)= (11/20)\(c_{n}\)
Donc (\(c_{n}\)) est géométrique de raison 11/20 et de premier terme \(c_{0}\)=20
De plus 0<11/20<1 donc lim \(c_{n}\)=0 (en +oo)
Donc (\(c_{n}\)) est positive car \(c_{0}\)=20 ; 11/20>0 et lim \(c_{n}\)=0 (en +oo)

4b) On calcule \(a_{n+1}\) - \(a_{n}\) et on trouve que c’est égale à 1/5 \(c_{n}\).
Donc par positivité de (\(c_{n}\)), (\(a_{n}\)) est croissante.
De même pour (\(b_{n}\)) où on trouve que (\(b_{n}\)) est décroissante.
4c) On peut en déduire que (\(a_{n}\)) et (\(b_{n}\)) sont adjacentes car elles ont la même limite d’après la 4a) et l’une est croissante et l’autre décroissante d’après 4)b).
5a) On calcule \(d_{n+1}\) et on trouve que c’est égal à \(d_{n}\).
Donc (\(d_{n}\)) est constante.
5b) Comme (\(d_{n}\)) est constante alors elle est égale à son premier terme :
\(d_{0}\)=80.
Donc 80=4l+5l
Soit l=80/9
Donc (\(a_{n}\)) et (\(b_{n}\)) convergent vers 80/9
Or 80/9 est environ égal à 8,889
Donc les conjectures faites en 2) et 3) sont confirmées.
C’est pour les conjectures où je me demande si je suis assez explicite ou non.
Merci d’avance et bonne journée.
Rémi

Bonjour,
Je pense avoir compris le but de ce devoir maison.
Je sais que vous n’êtes pas ici pour corriger mais je poste ce que je propose pour que vous puissiez me dire si c’est ou non assez justifier et si je suis sur la bonne voie.
3)a) On peut voir que \(A_{n}\) et \(B_{n}\) se rapprochent, plus n est grand, d’un point d’abscisse d’environ égal à 8,889.
On peut conjecturer que ses deux suites tendent vers un même point d’abscisse environ égal à 8,889.(je n'ai pas réussi à joindre le tableau)
3b) On utilise les coordonnées barycentriques comme vous me l’avez conseillé,
On trouve alors \(a_{n+1}\)= (4\(a_{n}\)+ \(b_{n}\))/5
Et \(b_{n+1}\)= (\(a_{n}\)+ 3\(b_{n}\))/4
4)a) on calcule \(c_{n+1}\) et on trouve : \(c_{n+1}\)= (11/20)\(c_{n}\)
Donc (\(c_{n}\)) est géométrique de raison 11/20 et de premier terme \(c_{0}\)=20
De plus 0<11/20<1 donc lim \(c_{n}\)=0 (en +oo)
Donc (\(c_{n}\)) est positive car \(c_{0}\)=20 ; 11/20>0 et lim \(c_{n}\)=0 (en +oo)

4b) On calcule \(a_{n+1}\) - \(a_{n}\) et on trouve que c’est égale à 1/5 \(c_{n}\).
Donc par positivité de (\(c_{n}\)), (\(a_{n}\)) est croissante.
De même pour (\(b_{n}\)) où on trouve que (\(b_{n}\)) est décroissante.
4c) On peut en déduire que (\(a_{n}\)) et (\(b_{n}\)) sont adjacentes car elles ont la même limite d’après la 4a) et l’une est croissante et l’autre décroissante d’après 4)b).
5a) On calcule \(d_{n+1}\) et on trouve que c’est égal à \(d_{n}\).
Donc (\(d_{n}\)) est constante.
5b) Comme (\(d_{n}\)) est constante alors elle est égale à son premier terme :
\(d_{0}\)=80.
Donc 80=4l+5l
Soit l=80/9
Donc (\(a_{n}\)) et (\(b_{n}\)) convergent vers 80/9
Or 80/9 est environ égal à 8,889
Donc les conjectures faites en 2) et 3) sont confirmées.
C’est pour les conjectures où je me demande si je suis assez explicite ou non.
Merci d’avance et bonne journée.
Rémi

Bonjour Rémi,

Ce que tu as fait semble juste.

SoSMath.