Suites
Posté : mar. 18 janv. 2011 20:23
Bonsoir,
j'ai un exercice sur les suites où la tout me semble impossible, mais il doit être faisable avec un petit peu d'aide.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b.
on définit les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) par :
\(u_{0}\)=a et, pour tout n appartenant à N, \(u_{n+1}\)=(2\(u_{n}\)\(w_{n}\))/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
\(w_{0}\)=b et pour tout n de N, \(w_{n+1}\)=(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))/2
1) Vérifier que (\(u_{n}\)) et(\(w_{n}\)) sont strictement positives.
J'ai pensé à une récurrence mais par exemple pour démontrer dans l'hérédité, que \(u_{n+1}\)>0, j'ai utilisé le fait que \(u_{n}\)>0(d'après (Hn)) et je suis parti du fait que \(w_{n}\) était positive. J'ignore si c'est la bonne méthode.
2) On pose, pour tout n appartenant à N, \(t_{n}\) =\(w_{n}\) - \(u_{n}\).
Démontrer que 0 \(\leq\) \(t_{n+1}\) \(\leq\)1/2 \(t_{n}\), et en déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout n appartenant à N, on a 0\(\leq\) \(t_{n}\), \(\leq\) (b-a)/2^n
Là je ne vois absolument pas comment démontrer ne serait-ce que la première partie.
3) Démontrer que la suite (\(u_{n}\)) est croissante et (\(w_{n}\)) est décroissante.
J'ai fait \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) mais je trouve des résultats étranges :
(\(u_{n}\)\(w_{n}\)+\(u_{n}\)²-2\(w_{n}\)²)/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
et de même pour \(w_{n+1}\)- \(w_{n}\) = (5\(u_{n}\)- \(w_{n}\))/2
4) Que peut-on en déduire pour les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\))?
Là je pense que ces deux suites sont donc adjacentes car lim (en +oo) \(t_{n}\) = 0 (question 2 avec le théorème des gendarmes)
5) A l’aide de l’étude de la suite (\(u_{n}\) \(w_{n}\)), déteminer la valeur de la limite commune des suites (\(u_{n}\)) et (\(w)_{n}\).
Là je ne vois pas trop.
6) En prenant a=3 et b=5, déterminer à l’aide de (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) un encadrement d’amplitude inférieur à 10^-2 de \(\sqrt{15}\) par deux rationnels.
Merci, si vous le pouvez, de m’aider.
Bonne soirée.
j'ai un exercice sur les suites où la tout me semble impossible, mais il doit être faisable avec un petit peu d'aide.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b.
on définit les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) par :
\(u_{0}\)=a et, pour tout n appartenant à N, \(u_{n+1}\)=(2\(u_{n}\)\(w_{n}\))/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
\(w_{0}\)=b et pour tout n de N, \(w_{n+1}\)=(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))/2
1) Vérifier que (\(u_{n}\)) et(\(w_{n}\)) sont strictement positives.
J'ai pensé à une récurrence mais par exemple pour démontrer dans l'hérédité, que \(u_{n+1}\)>0, j'ai utilisé le fait que \(u_{n}\)>0(d'après (Hn)) et je suis parti du fait que \(w_{n}\) était positive. J'ignore si c'est la bonne méthode.
2) On pose, pour tout n appartenant à N, \(t_{n}\) =\(w_{n}\) - \(u_{n}\).
Démontrer que 0 \(\leq\) \(t_{n+1}\) \(\leq\)1/2 \(t_{n}\), et en déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout n appartenant à N, on a 0\(\leq\) \(t_{n}\), \(\leq\) (b-a)/2^n
Là je ne vois absolument pas comment démontrer ne serait-ce que la première partie.
3) Démontrer que la suite (\(u_{n}\)) est croissante et (\(w_{n}\)) est décroissante.
J'ai fait \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) mais je trouve des résultats étranges :
(\(u_{n}\)\(w_{n}\)+\(u_{n}\)²-2\(w_{n}\)²)/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
et de même pour \(w_{n+1}\)- \(w_{n}\) = (5\(u_{n}\)- \(w_{n}\))/2
4) Que peut-on en déduire pour les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\))?
Là je pense que ces deux suites sont donc adjacentes car lim (en +oo) \(t_{n}\) = 0 (question 2 avec le théorème des gendarmes)
5) A l’aide de l’étude de la suite (\(u_{n}\) \(w_{n}\)), déteminer la valeur de la limite commune des suites (\(u_{n}\)) et (\(w)_{n}\).
Là je ne vois pas trop.
6) En prenant a=3 et b=5, déterminer à l’aide de (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) un encadrement d’amplitude inférieur à 10^-2 de \(\sqrt{15}\) par deux rationnels.
Merci, si vous le pouvez, de m’aider.
Bonne soirée.