SOS-MATH

Bonsoir,
Soit f une fonction continue et strictement croissante sur les réels POSITIFS et telle que sa limite en + l'infini soit 2.
Soit u la suite définie par u(n+1)=f(u(n)) et telle que 0<=u(0)<=u(1).
Montrer que u est croissante et convergente.
Je tente de montrer par récurrence que u est croissante :
Soit Pn : "u(n)<=u(n+1)"
pour n=0 P0 correspond à u(0)<=u(1) ce qui est vrai par donnée.
Supposons que Pn soit vraie et montrons que P(n+1) est vraie :
si u(n)<=u(n+1) alors comme f est croissante sur R+ , j'ai envie d'écrire que f(u(n))<= f( u(n+1)) d'où u(n+1)<=u(n+2) ce qui signifie que P(n+1) serait vraie et la récurrence fonctionnerait mais je ne sais pas que u(n) est positif et je ne dispose que de la croissance de f sur R+ et pas sur R au moment où je compose par f.

Alors je me dis qu'il faudrait que je démontre d'abord que tous les termes de la suite u sont positifs !
Soit Pn : "u(n)>=0".
P0 est vraie.
Supposons que u(n)>=0 et montrons que u(n+1)>=0.
Comme f est croissante sur R+ alors f(u(n))>=f(0) d'où u(n+1) >= f(0) mais rien de me dit que f(0) est positif !

On se mord la queue à chaque fois !

Comment faire ?

merci beaucoup,

Cédric

Bonsoir,
Et si tu montrais par récurrence la propriété \(P_n\,:\, 0\leq\,u_n\leq\,u_{n+1}\)
au rang 0, tu as par hypothèse \(0\leq\,u_0\leq\,u_1\) donc \(P_0\) est vraie
Maintenant, soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(P_n\) soit vraie
On a donc \(0\leq\,u_n\leq\,u_{n+1}\), donc en particulier on a \(u_{n+1}\geq\,0\)
Maintenant on ne prend que la deuxième partie \(u_n\leq\,u_{n+1}\), cette inégalité se passe sur les réels positifs et on sait que f est croissante sur cet intervalle donc :
\(f(u_n)\leq\,f(u_{n+1})\) soit \(u_{n+1}\leq\,u_{n+2}\) et avec la remarque faite plus haut, à savoir \(u_{n+1}\geq\,0\), on a \(P_{n+1}\)
C'est fait...