SOS-MATH

Bonjour
Je me pose quelques questions sur la façon de rédiger cet exercice.

On considère 3 urnes U1, U2 et U3. U1 contient deux boules noires et 3 boules rouges. U2 contient 1 boule noire et 4 boules rouges. U3 contient 3 boules noires et 4 boules rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les placer dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U3.
On note Ni (respectivement Ri) l'événement:"tirer une boule noire (respectiviment rouge) de l'urne Ui" pour i=1,2,3.
1) Illustrer l'expérience à l'aide d'un arbre
2) Calculer la probabilité des événements N1\(\cap\)N2\(\cap\)N3 et N1\(\cap\)R2\(\cap\)N3. En déduire la probabilité de l'événement N1\(\cap\)N3. Calculer de même la probabilité de R1\(\cap\)N3.
3) En déduire la probabilité de l'événement N3
4) Les événements N1 et N3 sont-ils indépendants?
5) Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle la probabilité que la boule tirée de U1 soir rouge?

Pour la question 1 je trouve un arbre en 3 parties. Sur les dernières branches je trouve 4 fois N3,R3. Est-ce la bonne solution? Je voulais aussi savoir s'il faut écrire les probabilités sur chaque branche et les justifier.

A bientôt
Claire

bonjour,

La description de ton arbre est imprécise, je ne peux dire s'il est juste.

De la racine de l'arbre sont issues 2 branches, qui correspondent aux évènements N1 et R1.
De chacune de ces deux branches sont issues deux branches qui corespondent aux évènements N2 et R2.
De chacune des 4 branches obtenues sont issues deux branches qui correspondent aux évenements N3 et R3.

Tu obtiens donc un arbre à 8 extrémités. Sur chacune des branches tu dois écrire les probabilités et les justifier. (attention au nombre de boules rouges et noires dans U3 qui varie en fonction des tirages dans U1 et U2)

Fais correctement cet arbre, c'est une condition importante pour réussir l'exercice.

bon courage, n'hésite pas à me présenter tes résultats.

sosmaths

Bonjour

Je crois que j'ai réussi la question 1 et que mes probabilités sont correctes.
Pour la question 2 je trouve p(N1\(\cap\)N2\(\cap\)N3)=10/225=2/45
p(N1\(\cap\)R2\(\cap\)N3)=32/225
Mais je n'arrive pas à faire la suite de cette question.

Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup

Bonsoir,

Regarde ton arbre , et les branches qui réalisent l'évenement N1\(\cap\)N3. Il y en a 2.
Tu ajoutes les probabilités .
Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales( voir cours).
\(P(N1\cap N3)=P(N1\cap N2\cap N3)+P(N1\cap R2 \cap N3)\)
De même pour calculer \(P(R1 \cap N3)\)

Bon courage

sosmaths

Bonsoir

Je ne vois pas trop d'où vien votre formule de probabilités totales car dans mon cours voici ce que j'ai écrit:"si A est de probabilité non nulle pour tout B on a p(B)=\(P_{A}\)(B)*p(A)+\(P_\overline{A}\)(B)*P(\(\overline{A}\))

Merci beaucoup pour votre aide
Claire

Bonsoir,

Une autre façon d'écrire cette formule est :
P(B)=\(P(B\cap A)+P(B \cap \overline{A})\)
Or dans ton problème les évènements N2 et R2 sont contraires.
De toute façon, l'observation attentive de l'arbre te permet de répondre. Voir message précédent.

Bonjour

On sait que les événements N2 et R2 sont contraires.
D'après la formule des probabilités totales, on a:
p(N1\(\cap\)N3)=\(P_{N2}\)(N1\(\cap\)N3)*p(N2)+\(P_{R2}\)(N1\(\cap\)N3)*p(R2)
= p(N1\(\cap\)N3\(\cap\)N2)+p(N1\(\cap\)N3\(\cap\)R2)
= p(N1\(\cap\)N2\(\cap\)N3)+p(N1\(\cap\)R2\(\cap\)N3)
=(10/225)+(32/225)=42/225=14/75

bonjour,

votre démarche est juste.
A bientôt

sos math

Bonjour

Voici les autres résultats que je trouve
2) p(R1\(\cap\)N3)=48/225=16/75
3) p(N3)=pN1(N3)*p(N1)+pR1(N3)*p(R1)=30/75=2/5
4) N1 et N3 ne sont pas indépendants
5) On sait que l'événement N3 est réalisé, on cherche la probabilité de R1. Par définition d'une probabilité conditionnelle, on a :
pN3(R1)=80/150=8/15

Merci pour votre aide
A bientôt

bonjour
La demarche est correcte.
Votre arbre pondéré justifie les calculs.

A bientôt
sos math