SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un exercice sur les suites où je n'arrive pas à conclure.
On se propose de démontrer que quel que soit l'entier naturel a>(ou égal) 2, la suite définie pour tout entier n>(ou égal) 1,
par Un = somme des n de k=1 1/k^a est convergente.

A. Cas a = 2
1) Calculer U1, U2 et U3.
2) Justifier la croissance de la suite (Un).
3) soit k un entier naturel tel que k>(ou égal) 2, justifier que l'on a :
1/k² <(ou égal) 1/(k(k-1)) pui démontrer l'égalité 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) - 1/k
4) Démontrer que, pour tout entier n>(ou égal)2, on a :
Un<(ou égal) 2- (1/n)
En déduire la convergence de (Un)

B. Cas a>(ou égal)3

1) Justifier la croissance de (Un)
2) Démontrer que, pour tout entier k>(ou égal) 1, on a 1/k^a <(ou égal) 1/k² et en déduire que (Un) est majorée par 2. Conclure.

Voilà ce que je propose:
A. 1) U1 = 1; U2= 5/4; U3 = 49/36
2) on calcule Un+1 -Un = 1/(n+1)² donc (Un) est croissante car (n+1)²>0
3) pas de problème
4) On utilise la récurrence. J'ai un peu de mal pour l'hérédité :
On veut prouver que pour tout entier n >(ou égal) 2, (Hn) => (Hn+1)
On suppose que (Hn) est vraie
on veut en déduire que (Hn+1) : Un+1<(ou égal) 2-(1/(n+1))
On a : Un+1 = Un + 1/(n+1)²
Mais ensuite je ne sais pas où utiliser l'hypothèse de récurrence qui est (Hn) : Un<2-(1/n)

B. 1) Je ne sais pas trop pour la partie B
je calcule Un+1 -Un = 1/(n+1)^a
donc (Un) est croissante.

2) Pour tout entier k>(ou égal) 1, on a : k^a>k² donc 1/ k^a < 1/k²
Et ensuite alors pour déterminer qu'elle est majorée par 2 je ne sais pas du tout comment procéder.
Merci d'avance
Jean

Bonsoir,
Pour la récurrence, il faut utiliser les questions précédentes :
\(U_{n+1}=U_n+\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}\) en combinant l'hypothèse de récurrence et la première inégalité du 3.
puis en réutilisant la deuxième égalité \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)on a alors
\(U_{n+1}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) soit \(U_{n+1}<2-\frac{1}{n+1}\) donc on a la propriété au rang \(n+1\)
Pour la suite, si tu prends un a>2, le sens de variation s'étudie de la même manière.
On a facilement (tu l'as dit) \(\frac{1}{k^a}<\frac{1}{k^2}\), donc en faisant la somme sur k variant de 1 à n, on a :
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^a}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\) or la deuxième somme est majorée par \(2-\frac{1}{n}\) (d'après la première partie) qui est majoré par 2.
Ta suite est donc croissante et majorée (par 2), elle converge donc vers un réel \(\ell\leq\,2\)