SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un exo à faire sur les suites mais je ne le comprend pas.
La suite (\(u_{n}\)) est définie, pour tout entier naturel n, par : \(u_{0}\) = 1/2 et \(u_{n+1}\) = (8\(u_{n}\)+3)/(\(u_{n}\) +6)

1a) Démonter par récurrence que, pour tout entier n>(ou égal) 0, on a 1<\(u_{n}\)<3.
b) Montrer que (\(u_{n}\)) est croissante.
2) On considère la suite (\(w_{n}\)) définie pour tout entier naturel n, par \(w_{n}\)= (\(u_{n}\)-3)/(\(u_{n}\)+1)
a) Démontrer que (\(w_{n}\)) est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.
b) Quelle est la limite de (\(w_{n}\))
3) Exprimer, pour tout entier naturel n, \(u_{n}\)en fonction de \(w_{n}\).
En déduire le comportement de \(u_{n}\) en l'infini.

Le problème c'est que je ne vois pas du tout par où commencer car on a pas Un mais Un+1. Est-ce une suite géométrique ou arithmétique? Ces questions sont les principales causes de mon blocage.
Merci d'avance
Gilles

Bonjour,
Ta suite est une suite définie par récurrence et elle n'est pas arithmétique ni géométrique.
Elle de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f(x)=\frac{8x+3}{x+6}\)
Etudie la sens de variation de ta fonction associée sur l'intervalle [1,3] (celui qui nous intéresse), (elle est croissante il me semble) et détermine l'image de l'intervalle [1;3] par cette fonction, il doit être inclus dans [1;3].
Ensuite fais une récurrence pour prouver la propriété suivante:\(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\,1<u_n<3\)
initialisation : u1=14/13 donc il est bien dans [1;3];
hérédité : si on suppose pour un entier n>0 que \(1<u_n<3\), alors \(f(1)<f(u_n)<f(3)\) car f est croissante sur cet intervalle.
Et on aura \(u_{n+1}=f(u_n)\) qui sera aussi dans l'intervalle [1;3] car [f(1);f(3)]est inclus dans [1;3].
Voilà pour la première question.
Pour la suite (sens de variation), tu peux étudier le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\)

Bonjour
1)a) je pense avoir compris le début :
Initialisation
pour n=1 ; U1 = 14/13 donc (H1) est vraie.
Hérédité : je trouve que 11/7 <Un+1< 3 donc (Hn+1) est vraie donc (Hn) l'est aussi car 1< 11/7
1)b) On calcule Un+1 -Un = (8Un+3)/(Un+6) - Un
= (8Un+3 - Un(Un +6))/(Un+6)
Mais ensuite je trouve des Un² ce qui n'est pas normal, non?
2a) Je calcule Vn+1 et je trouve en remplaçant les Un+1 par sa valeur, Vn+1 = (5Un+15)/(9Un+9) donc Vn+1 = 5/9 Vn
On calcule Vn+1 / Vn et on a 5/9 donc q=5/9
Pour trouver le 1er terme je trouve : V0 = Vn/q
= (9Un-27) / (5Un+5)
après cela je sais pas vraiment quoi faire pour cette question.
2b) q=5/9 donc 0<q<1 donc lim en +oo Vn = 0

Pour la 3 je ne vois pas du tout
Cordialement
Gilles

Dans ta différence, tu obtiens une expression avec des \(u_n^2\) au numérateur, ce qui n'est pas grave. On s'intéresse au signe de cette différence, donc on étudie le signe du numérateur uniquement ( le dénominateur est positif) : on étudie donc le signe de \({-}u_n^2+2u_n+3\) qui est un trinôme du second degré : on étudie donc le signe de \({-}x^2+2x+3\) avec le discriminant (delta outillage !)
Pour l'expression de \(u_n\), il s'agit d'inverser la relation : tu avais \(w_n=\frac{u_n-3}{u_n+1}\), il s'agit d'obtenir une égalité du type \(u_n=...\) avec une expression où il y a du \(w_n\) : mets tout à plat, factorise par \(u_n\) et divise...

Merci bien déjà de m'avoir aidé, je me suis trompé en fait mes Vn sont des Wn donc voià ca que je trouve:
Je calcule Wn+1 et je trouve en remplaçant les Un+1 par sa valeur, Wn+1 = (5Un+15)/(9Un+9) donc Vn+1 = 5/9 Vn
On calcule Wn+1 / Wn et on a 5/9 donc q=5/9
Pour trouver le 1er terme je trouve : W0 = Wn/q
= (9Un-27) / (5Un+5)
après cela je sais pas vraiment quoi faire pour cette question.
2b) q=5/9 donc 0<q<1 donc lim en +oo Wn = 0
est-ce juste ?

je trouve Un = (3Wn+1) /(Wn-1)
Concernant le comportement à l'infini de Un comment faut-il que je m'y prenne?
Merci d'avance
Gilles

Plusieurs remarques :
- \(w_0\), s'obtient en remplaçant \(u_n\) par \(u_0\) dans l'expression définissant \(w_n\);
- si on suppose que ton expression de \(u_n\) est juste (je n'ai pas vérifié), en passant à la limite, \(w_n\) tend vers 0, il reste \(\lim_{n\mapsto+\infty}\frac{3w_n+1}{w_n-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1\)
En fait je ne trouve pas cette expression pour \(u_n\).
Reprends ton calcul puis la méthode est la même pour trouver la limite de \(u_n\)

Merci bien pour vos remarques:
donc je trouve W0= -5/3
En effet pour Un je trouve: Un = (-Wn-3)/(Wn-1)
Donc lim (en +oo) Un = 3
Cela me semble plus correcte.

Gilles

Cela me semble plus correct.
Bon courage