SOS-MATH

Bonjour,
dans les résultats à démontrer par récurrence en TS (ex. d'annales) on demande souvent d'établir que si z est un nombre complexe :
pour tout entier naturel n le conjugué de z^n est égal à (conjugué de z)^n (et quelquefois pour tout n non nul).
Mais est-ce vraiment exact ? Ne faut-il pas dire TOUJOURS "pour tout entier naturel NON NUL" ?
En effet, que vaut z^n quand n=0 et z=0 simultanément ??? 0^0 a-t-il du sens par convention ???
Dans notre cours sur les puissances, on nous a dit que 0 puissance 0 n'a pas de sens ........
Cela me trouble.
Merci beaucoup de me rendre les choses plus claires.
Cédric

Bonjour,

Il faudrait dire : Soit z un nombre complexe non nul. Pour tout entier relatif n, conjugué(z^n)= (conjugué(z))^n

D'autre part, il n'est pas recommandé d'utiliser le mot "toujours" en mathématique.

C'est un adverbe de temps, il est employé à la place de : Pour tout x appartenant à l'ensemble E et cette phrase mathématique a le mérite d'être rigoureuse.

Pourquoi 0^0 n'a pas de sens ? j'y réfléchis.

sosmaths

Bonsoir,
j'attends votre avis sur 0^0 avec impatience.
En tout cas, la convention 0^0 = 1 semble loin d'être universelle (un peu comme si 0^0 était une forme indéterminée 0/0, c'est-à-dire 0^(1-1) ). Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour vos précisions.
Cordialement,
Cédric

Bonsoir,
Oui, c'est une convention, c'est-à-dire que cela pourrait être autre chose. Seulement si on considère la fonction \(f\,:\,x\mapsto\,x^x\) définie sur \(]0,+\infty[\) qui s'écrit \(f(x)=e^{x\ln(x)}\), alors sachant que \(\lim_{x\mapsto\,0^{+}}x\ln(x)=0\), alors, \(\lim_{x\mapsto\,0^{+}}e^{x\ln(x)}=1\),
donc le choix de \(0^0=1\), permet de prolonger par continuité la fonction f.
On pourrait prendre une autre valeur, mais alors on n'aurait plus le prolongement possible de f par continuité et en maths, on aime bien la continuité...
Voilà pour mon point de vue personnel mais je sais qu'il y a débat là dessus