SOS-MATH

Bonjour, j’ai un devoir à faire et je ne comprends pas. Pourriez-vous m’aider ? D’avance merci.

Dans un hôpital, on dispose d’un médicament qui s’injecte par voie intraveineuse. On veut trouver une posologie pour un traitement de 10j pour chaque malade.
Contraintes :
-quantité de médicament comprise entre 5mg et 15mg
-3 injections par jour (7h 12h 19h)
-quantité de produit injecté doit être un entier naturel

1) On veut comprendre comment le médicament s’élimine une fois injecté dans le sang.
On a remarqué qu’après injection d’une quantité Q(0), la quantité Q présent dans le sang obéit à la règle suivante : si ∆t est une petite variation de temps et ∆Q la variation de quantité de médicament correspondant à ∆t on a :
∆Q= - k Q∆t
Où k est une constante positive qui ne dépend pas de la quantité injectée et qui varie selon l’individu.

Ecrire l’équation différentielle que satisfait Q(t). En déduire l’expression de Q(t)

2) On a choisi un malade qu’on souhaite guérir. On se propose d’abord de trouver le coefficient d’élimination k de ce malade. On lui injecte 11mg de médicament puis on mesure à divers temps (en heures) la quantité de médicament présent dans le sang (mg) ; l’instant t=0 correspond à la fin de l’injection
Temps 0 1 2 4 6 8 12 16 20 24
Q 11 10.2 9.5 8.2 7 6.1 4.5 3.4 2.5 1.8


Trouver k. en déduire l’expression de Q(t) chez ce malade. Proposer une posologie pour ce patient.
On notera q0 , q1 ….. q29 les quantités de médicament présent dans le sang après chaque injection

NB : il est préférable de faire un petit programme ( R ou Excel) pour les déterminer.

Bonsoir Mathieu,

Tu as l'équation différentielle \(Q^,(t)=-k\times{Q(t)}\) écrite sous une forme un peu différente.
Applique ton cours pour trouver la solution en fonction de t, k et de la fonction exponentielle.

Tu as ensuite deux constantes à déterminer : utilise alors les valeurs données 0 donne 11 et 1 donne 10,2. Ensuite tu peux vérifier avec un tableur.

Si tu n'as pas encore fait le cours sur l'équation différentielle rentre les valeurs dans un tableur, insère un diagramme nuages de point.
Ensuite à l'aide d'un clic droit insère une courbe de tendance et fait afficher son équation, pense à transformer \(a^x\) en \(e^{xln(a)}\) pour trouver \(k\) qui sera \(ln(a)\).

Bon courage.

merci beaucoup pour cette réponse rapide.
si j'ai bien compris la solution de cette équation diffèrentielle est de la forme :
Q(t) = C e(-kt) ou C est la quantité a t=0 c'est ça ? ( c'est un peu confus dans mon esprit)

mais pourquoi elle est sous la forme ∆Q= - k Q∆t ?

∆Q= - k Q∆t est égal à Q'(t)=-k Q(t) ?

Dans le 2 on aurait donc
Q(t) = 11 e (-kt) ? c'est ça ?

je ne comprends pas comment trouver k... Pouvez vous m'aider ?

si tout est juste avant (a vous de confirmer) faut il partir en faisant :
ln Q(t) = ln (11 e (-kt)
= ln 11 + ln (e-(kt))
= -kt + ln 11
et aprés je suis bloquer...
D'avance merci pour vos réponses

Bonjour,

\({\Delta}Q=-k Q{\Delta}t\) est équivalent à \(\frac{{\Delta}Q}{{\Delta}t}=-kQ(t)\) ce qui donne à la limite quand les intervalles de temps \({\Delta}t\)diminuent (tendent vers 0)\(Q^,(t)=-k Q(t)\).

Donc ta solution est correcte.

Pour trouver \(k\) prend, par exemple \(t=1\) et \(Q(1)=10,2\).
D'où : \(ln Q(t) = ln(11e^{-kt})\), ce qui donne \(ln(10,2)= ln(11)+ln (e^{-k})\) puis \(ln(10,2)-ln(11)={-k}\).

Ensuite avec un tableur ou une calculatrice vérifie que les autres valeurs données correspondent bien à la fonction trouvée.
Bonne fin d'exercice

Encore merci mais j'ai encore un souci :

lorsque je fais : ln(10.2) - ln(11) = -k je trouve k = 0.07330173709
si je prend pour t=2 j'ai alors ln(9.5) - ln(11) = -2k k= 0.07550755

Comment ça se fait que je n'ai pas la même valeur ?


néanmoins dans le sujet on me dit de donner une valeur approchée de k donc je prends k= 0.07 ?

et ensuite une fois que j'ai l'équation :

Q(t) = 11 e (-0.07t) comment je fais pour trouver une posologie convenable ?

D'avance merci

Bonsoir,

la liste des valeurs est une liste de mesures entachées d'erreurs donc suivant le couple de points on a des valeurs de k proches mais différentes.
Pour ma part j'ai pris 0,075 ou 0,076.

Je pense qu'il ne faut pas que ce qui reste dans le corps ajouté à la nouvelle injection ne dépasse 15 mg.
Avec un tableur on peut simuler :
1) la dose, d, injectée à 7h
2) avec la formule ce qui reste, puis la nouvelle quantité au bout de 5h, (à 12h), on injecte de nouveau d,
3) ce qui reste et la nouvelle quantité au bout de 7h (à 19h) avec une nouvelle dose,
4) ce qui reste et la nouvelle quantité au bout de 12h (7h le lendemain et ainsi de suite).

Bien entendu il faut respecter les consignes : 5 < d < 15 et d entier

Bonne fin d'exercice.

Je ne comprends pas trop (encore désolé), car les doses qui sont données m'ont permis d'avoir l'équation

Q(t)= 11 e (-0.75t)

cela veut dire que je suis obligé de commencer en lui donnant une injection de 11mg ?

Dans ce cas la, cela veut dire que t0 = 7h donc a 12h (4h plus tard) il lui resterait :

Q(t)= 11e (-0.75 x 4) = 0.54 mg ? dans ce cas la la dose n'est pas comprise entre 5 et 15mg...

tout est un peu flou.

j'espère que vous pourrez une fois de plus me dépanner.

D'avance merci

Bonsoir,

Les réponses ne s'affiche que si une personne les traite, ce qui n'a pas été le cas jusqu'ici.

Pour le pb en lui même je ne vois pas d'autres contraintes, k étant déterminé, on aura, si la dose injecté au départ est C mg, Q(t) = C exp(-0,075t), le coefficient 11 est pour 11 mg, k est fixé par les données du malade, quand on change la posologie, le coefficient k ne change pas, c'est le coefficient C qui change.

Bonne continuation

Encore merci pour toutes ces réponses.

pour le patient on arrive donc à

Q(t)=11e(-0.075t) c'est donc la quantité qu'il lui reste de médicament au temps t.

Pour la posologie il faut qu'on lui injecte une 1ere dose entre 5 et 15mg a 7h
puis a 12h une autre dose et a 19h une autre dose et ensuite une autre a 7h le jour suivant et ainsi de suite mais je comprends pas tout. Je m'explique

Si a 7h je lui injecte 15mg, a 12h donc 5h plus tard, il lui reste donc

Q(t)= 11 e (-0.075 x 5) ou
Q(t) = 15 e (-0.075 x 5) ???

dans le cas 1 : on aurait 7.56 mg de médicament restant donc on peut lui réinjecter alors 7mg ( car il ne faut pas dépasser 15mg dans le sang et on prend que des entiers naturels)
Donc a 19h (7h après) reste il :

1) 11 e (-0.075 x 7 ) ou 14.56 e (-0.075 x 7) ?

Je sais pas si c'est clair mais je ne comprends pas trop.
D'avance merci

Bonjour

Je pense qu'il lui reste Q(t) = 15 e (-0.075 x 5), car la condition initiale est "pour t = 0" la quantité injectée est 15.

Ce qui suit n'est que mon interprétation de l'énoncé :
Je pense que l'on doit faire des injections identiques à chaque fois, donc si la première injection est 15 mg les autres seront aussi de 15 mg ce qui ne va pas car on dépasse 15 mg dans le sang à midi.

Attention : le coefficient C change à chaque nouvelle injection, on repart à 0 à chaque fois : s'il lui reste 6 mg et qu'on lui en réinjecte 7, il aura 13 mg dans le sang et la fonction sera Q(t) = 13 e (-0.075 x 5).
Avec un tableur cela se fait bien.

Bonne continuation

encore merci, mais quand vous parlez de tableur, comment ça marche ? dans l'énoncé on me dit que créer un petit programme m'éviterait de faire tous les calculs à la main.
Que dois je rentrer dans excel par exemple, et pour les doses identiques si a chaque prise je lui injecte la même dose sur la durée du traitement, (10j donc 30 prises) ne v'a t-il pas dépasser ?

D'avance merci.

Bonsoir,

Ce n'est pas possible de donner le mode d'emploi d'un tableur par l'intermédiaire de ce forum.
Le plus simple est de calculer pour C= 9 mg, (au dessus de 9 c'est trop grand) C = 8 mg,C = 7 mg et de calculer la quantité restante avec Cexp(-0,075t) au bout de 5 h, recalculer ce qui reste donc une nouvelle valeur de C et à l'aide de Cexp(-0,075t) calculer la quantité restante avec au bout de 9 h et recommencer pour 12 h, 5 h, 7 h ...
Cela prend du temps et permet d'éliminer les valeurs trop grandes.

Bon courage