SOS-MATH

coucou, voilà j'ai un excercice de maths a faire mais je bloque: pouvez vous m'aider!

je vous met l'énoncer:

Soit la fonction f définie sur [0,5;12] par f(x)= 4 ln(x)−(5/x) − x +2

1) On désigne par f' la dérivée de f sur [0,5;12].
a. Calculer f'(x)
b. Montrer que f(x)= [(5-x)(x+1)]/x² pour tout x de [ 0,5 ; 12 ].
c. Etudier le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variations de f .

2)a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet 2 solutions sur [0,5 ; 12].
b. En déduire un encadrement à 0,1 près de la plus petite des solutions de l'équation f(x)= 0 .


alors j'ai fait:
pour la question 1) a):

f(x)=4 ln(x)−(5/x) − x +2
f'(x):
- 4 ln(x) est de la forme ku.
avec k=4 et u=ln(x)
-la dérivée de ln(x)= 1/x
-(5/x)-x est de la forme u-v avec u=5/x et v=x
or f(x)=x ----- f'(x)= 1
- (5/x) est de la forme u/v soit f'(x)= -5/x²
donc:
f(x)=4 ln(x)−(5/x) − x +2
f'(x)=4/x+5/x²-1

pour la b)
j'ai mit sur le même dénominateur et j'ai factorise le numérateur, ce qui m'a donné: (4x+5-x²) / x²
puis en factorisant je tombe bien sur: (5-x)(x+1)/x²

mais pour la question c) je sais pas si c'est bon, je bloque pour l'étude de signe:
j'ai fait:
5-x=0 x-5+5=0+5 x=5
x+1>=0 x+1-1=1 x=1

pour la 2.a):
on remarque que l'équation f(x)=0 admet deux solutions soit x=1 et x=5

Bonsoir,

Ce que tu as fait est juste. La dérivée f'(x)=[(5-x)(x+1)]/x² donc pour déterminer le signe de cette fonction (afin de déterminer le sens de variation de la fonction), il suffit de trouver le signe de (5-x)(x+1). Pour cela fais un tableau de signe, tu as trouver les deux racines.

Tu as commis une confusion entre la fonction f et la dérivée f'. De fait, la réponse apportée à la question 2)b) est fausse. Pour répondre à cette question, il faut rechercher les valeurs de f(0,5) ; f(5) et f(12) et utiliser la monotonie de cette fonction pour conclure à l'existence des deux racines. En utilisant ta calculatrice, tu trouveras une valeur approchée de chacune d'elles.

Bonne continuation.