arithmétique

[Cédric]

Bonsoir,
Voici un exercice que je dois résoudre :
IV Exercice pour les élèves qui font la spécialité mathématiques.
On considère la suite u(n) d'entiers naturels :
u(0) = 14 et u(n+1) = 5 u(n) - 6 pour tout entier naturel n.
1. Quelle conjecture peut –on émettre sur les deux derniers chiffres de u(n) ?
2. Montrer que pour tout entier naturel n, u(n+2)= u(n) [4]
En déduire que pour tout entier naturel k, u(2k) = 2 [4] et u(2k+1) = 0 [4]
3. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 u(n)= 5^(n+2) +3
b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2 u(n)=28 [100].
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de u(n) , suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite u(n) est constant. Préciser sa
valeur.
J'ai trouvé toutes les réponses aux 3 premières questions et je coince à la question 4. Je ne vois pas du tout comment montrer ma conjecture : si n est pair, u(n) finit par 14 et si n est impair, u(n) finit par 64.
Pourriez-vous me donner une indication ?
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

tu peux faire une récurrence pour répondre à la question 5. (en utilisant ta conjecture).

SoSMath.

[CIRDEC]

Merci pour l'objectif à démontrer que je n'arrivais pas à traduire mais en essayant de montrer dans un premier temps que
u(2k) = 14 [100] par récurrence, je bloque :
pour k=0, on a bien l'égalité puisque 14 = 14 donc 14 = 14 [100]
Supposons l'égalité vraie à l'ordre k et tentons de la démontrer à l'ordre k+1.
On a u(2k+2) = u(2k) [4] et par hypothèse de récurrence, u(2k)= 14 [100]
donc il existe deux entiers naturels A et B tels que u(2k+2) = 14 + 100B + 4A = 14 + 4(25B +1)
mais je ne peux en conclure uniquement que u(2k+2) = 14 [4] (je n'ai pas l'égalité modulo 100)
Merci encore pour votre aide à venir ...
Cédric

[SoS-Math(9)]

Cédric,

Pour ta récurrence, tu as besoin d'exprimer u(2k+2) en fonction de u(2k) pour cela utilise la relation initiale : u(2k+2) = 5 u(2k+1) - 6 = 5[ 5 u(2k) - 6 ] - 6 = ...
Ensuite utilise ton hypothèse de récurrence : u(2k) = 14 [100] <=> Il existe un entier m tel que u(2k) = 100m + 14.

SoSMath.

[Cédric]

Bonjour,
Merci j'ai trouvé et je pense avoir une solution sans récurrence :
On part de 2u(2k)=28 [100]
Ceci signifie qu'on peut trouver un entier p tel que :
2u(2k)=28+100p, ou encore u(2k)=14+50p.
On distingue alors deux cas :

1er cas : p est pair, p=2m. Alors u(2k)=14+100p, est la propriété est démontrée.

2eme cas : p est impair, p=2m+1.
Alors u(2k)=14+100m+50=64+100m.
Mais alors, u(2k)=4(16+25m) et donc u(2k)=0 [4]
Ceci contredit le résultat de la question 2 qui dit que u(2k)=2 [4]

C'est pareil pour u(2k+1).

Il me reste la question 5 où je souhaiterais démontrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite U est constant égal à 2.

D'après la question 4, les termes de la suite sont tous pairs donc 2 divise u(n) et u(n+1) et il me reste à montrer que u(n)/2 et u(n+1)/2 sont premiers entre eux ou qu'il existe deux entiers p et q tels que p*u(n) + q*u(n) = 2.
Pourriez-vous me donner encore une indication ?
MERCI BEAUCOUP,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Pour la question 4, ta méthode est juste.

Pour la question 5, je recherche des pistes ...

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Cédric,

voici une piste pour la question 5:
tu as montré que u(2k)=2 [4], donc il existe m entier tel que u(2k) = 4m + 2.
Or d'après la relation initiale, u(2k+1) = 5u(2k) - 6 soit u(2k+1) = 20m + 4.
On utilise alors la propriété : si d = PGCD(a, b) alors d = PGCD(a, b-a).
On montre alors que PGCD(u(2k+1), u(2k)) = PGCD(4m+2, 2) = 2.

SoSMath.