Equa-diff

[Rashou92]

Bonjour, J'aurais besoin d'aide pour un Devoir maison de maths s'il vous plait, voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 2e^x - x - 2

1°) Déterminer la limite de g en - infini et justifier la limite de g en +infini
2°) Calculer g'(x) et justifier son signe en fonction des valeurs de x. On donnera notamment la valeur exacte de A.
3°)Justifier par le calcul la valeur du minimum de la fonction. Donner une valeur approchée à 10^-1 de ce minimum.
4)Justifier que l'équation g(x)=0 possède une unique solution réelle, notée a, sur l'intervalle ]-infini;A]. On admettra que cette équation possède également une unique solution, notée b , sur l'intervalle [A;+infini[.
5°)Vérifier que b=0.
6°)A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à 10^-1 près de a.
7°) A l'aide des questions précédentes, dresser le tableau de signes de g(x) sur IR.

pour le 1),2),3) c'est bon mais à partir du 4) je ne comprends absolument pas comment faire. si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider!
Merci d'avance de votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as du voir une propriété du cours sur les fonctions continues et strictement monotones. Sur l'intervalle \(]-\infty;A]\), ta fonction est continue strictement décroissante elle définit donc une bijection de \(]-\infty;A]\) sur \([g(A);+\infty[\), or l'intervalle "image" contient 0 car g(A)<0, donc 0 a un unique antécédent, ce qui signifie que l'équation g(x)=0 a une unique solution a dans \(]-\infty;A]\).
Pour b ce serait la même démarche ; on sait donc que b est unique comme g(0)=0 (calcul à vérifier), on a nécessairement b=0 par unicité.
L'encadrement de a se retrouve par tests successifs...
A toi de poursuivre

[Rashou]

Pouvez-vous m'éclairer un peu plus?je ne comprends pas.

[sos-math(21)]

As tu vu une propriété du cours qui dit : si f est une fonction continue et strictement croissante (resp.décroissante) sur un intervalle I, alors elle définit une bijection de I sur l'intervalle image de I. Autrement dit, chaque valeur de l'intervalle image aura un unique antécédent dans I.
Je ne vois pas comment être plus clair, c'est une connaissance du cours....

[Rashou]

si, j'ai compris ce que vous avez écrit, mais c'est l'encadrement qui me pose problème.

[sos-math(21)]

Pour l'encadrement, c'est simple, tu prends ta machine et tu traces la courbe, on voit que le minimum est aux environs de -1,5 :
tu testes en calculant les images successives : g(-2)>0 et g(-1)<0 donc a est entre -2 et -1. On teste à la valeur intermédiaire -1,5, g(-1,5)<0 donc -2<a<-1,5.
On teste alors en -1,6, g(-1,6)>0 donc a est entre -1,6 et -1,5, voilà.

[Rashou]

faut-il montrer que g(x) est continue sur l'intervalle
]-¥;A]? Pour le 4)

[sos-math(21)]

Il fait dire que g (on dit g quand on nomme la fonction, g(x) c'est un nombre) est continue pour pouvoir appliquer le théorème.
Pour le prouver, il suffit juste de dire que g est une somme de fonctions continues \(x\mapsto\,2e^x\) et \(x\mapsto\,-x-2\) et c'est tout.

[Rashou]

je dois juste dire: g est une somme de fonctions continues 2e^x et -x-2, donc g(x) est continue. Il y a pas un théoréme qui montre qu'une fonction est continue? parce que je comprends pas beaucoup ce chapitre.

[sos-math(21)]

Non, il y a un certain nombre de fonctions "usuelles" dont on admet que ce sont des fonctions continues (polynôme, exponentielle, racine, puissance....) et les autres se déduisent par opérations (somme, produit, quotient, composée...)

[Rashou]

Donc g(x)est continue puisque c'est une somme de fonctions continues!
Merci pour vos explications et votre aide!

[sos-math(21)]

Oui sauf que je t'ai déjà dit que g(x) désigne le nombre : tu parlais dans ton dernier message de la fonction donc on note g, pas g(x) (excuse moi je pinaille, mais je suis prof de maths, je n'aime pas l'approximation).
Sinon, pour le reste c'est ok. Bon courage.

[Rashou]

a oui, désolé c'est g qui est continue!

[sos-math(21)]

C'est plus correct comme cela.
Bon courage