SOS-MATH

Bonjour, J'éprouve quelques soucis dans la résolution de ce problème que voici : Pouvez-vous m'aider ?
On pose z(t)=1/(v(t)-40) t appartient à l'intervalle -1 1 et v'(t)=g-(k/m)v(t)^2 ou g=10 k=1/320 et m=0.5
Etablir que z est solution de l'équation différentielle E' : z'=(1/2)z+(1/360).

Pour cela j'ai calculé la dérivée de z(t)=1/(v(t)-40) ce qui me donne z'(t)=-v'(t)/(v(t)-40)^2
ce qui me donne en remplacant g k et m par leur valeurs z'(t)= (-10+(1/160)*v(t)^2)/(v(t)^2-80v(t)+1600)
ensuite j'ai remplacé z par z(t)=1/(v(t)-40) dans l'expression z'=(1/2)z+(1/360).
cela me donne z'(t)=(v(t)+40)/(160v(t)-6400) mais voilà je trouve deux z(t) différents donc je ne parviens pas à réussir à établir que z est solution de E'. Je pense avoir commis une erreur pouvez-vous m'aider ?

Ensuite il me demande d'établir la réciproque de la propriété précédente. Que dois-je faire ?

De plus je dois résoudre E' J'ai trouvé que les solutions de E' sont les fonctions z(t)=(-1/80).e indice (1/2)t -(1/80) est -ce juste puisque après je dois en déduire l'expression de v(t) pour laquelle j'ai trouvé
v(t)=1/((-1/80).e indice (1/2)t-(1/80))+40 Est-ce correct ?

J'ai vraiment peur de m'être trompée merci de m'aider SOS maths. Mes salutations distinguées. Elise

Bonjour,
Pour la démarche initiale, je suis d'accord, c'est pour la gestion des calculs suivants qu'il faut chercher à améliorer le résultat :
tu as obtenu \(z^{,}(t)=\frac{-10+(1/160)\times(v(t))^2}{(v(t)-40)^2^}\), c'est là qu'il faut chercher à travailler différemment :
Multiplie tout par 160 tu dois avoir :
\(z^{,}(t)=\frac{-1600+(v(t))^2}{160(v(t)-40)^2^}=\frac{v(t)^2-40^2}{160(v(t)-40)^2}=\frac{(v(t)-40)(v(t)+40)}{160(v(t)-40)^2}\), on simplifie par (v(t)-40) et il reste
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)+40}{160(v(t)-40)}\) et là il faut encore ruser en écrivant le numérateur comme v(t)+40=v(t)-40+80, ce qui permet de simplifier encore :
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)-40+80}{160(v(t)-40)}=\frac{v(t)-40}{160(v(t)-40)}+\frac{80}{160(v(t)-40)}=\frac{1}{160}+\frac{1}{2}z\)
On retombe sur ce que tu veux sauf que toi tu as écrit 1/360. Est-ce une erreur de texte ?
Pour la suite, la réciproque consiste à dire que si tu prends une fonction z de la forme donnée et que tu supposes qu'elle est solution de l'équation différentielle donnée, alors la fonction v a pour dérivée, celle qui est donnée, il s'agit donc de refaire les calculs en partant de l'équation différentielle et en remplaçant z par son expression et isoler v'(t) d'un côté.
Pour la résolution de l'équation différentielle, on doit avoir une forme générale, il doit y avoir une constante k quelque part car tu n'as rien sur les conditions initiales.
Reprends cela

Merci de m'avoir répondu, votre aide m'a été précieuse
Elise

Bon courage, tu dois avoir pour la réponse \(z(t)=ke^{\frac{t}{2}}-\frac{1}{80}\);
ensuite en partant de \(z(t)=\frac{1}{v(t)-40}\) tu as \(v(t)=\frac{1}{z(t)}+40\) et tu obtiens en remplaçant z(t) par sa réponse l'expression de v(t).