Bonjour, J'éprouve quelques soucis dans la résolution de ce problème que voici : Pouvez-vous m'aider ?
On pose z(t)=1/(v(t)-40) t appartient à l'intervalle -1 1 et v'(t)=g-(k/m)v(t)^2 ou g=10 k=1/320 et m=0.5
Etablir que z est solution de l'équation différentielle E' : z'=(1/2)z+(1/360).
Pour cela j'ai calculé la dérivée de z(t)=1/(v(t)-40) ce qui me donne z'(t)=-v'(t)/(v(t)-40)^2
ce qui me donne en remplacant g k et m par leur valeurs z'(t)= (-10+(1/160)*v(t)^2)/(v(t)^2-80v(t)+1600)
ensuite j'ai remplacé z par z(t)=1/(v(t)-40) dans l'expression z'=(1/2)z+(1/360).
cela me donne z'(t)=(v(t)+40)/(160v(t)-6400) mais voilà je trouve deux z(t) différents donc je ne parviens pas à réussir à établir que z est solution de E'. Je pense avoir commis une erreur pouvez-vous m'aider ?
Ensuite il me demande d'établir la réciproque de la propriété précédente. Que dois-je faire ?
De plus je dois résoudre E' J'ai trouvé que les solutions de E' sont les fonctions z(t)=(-1/80).e indice (1/2)t -(1/80) est -ce juste puisque après je dois en déduire l'expression de v(t) pour laquelle j'ai trouvé
v(t)=1/((-1/80).e indice (1/2)t-(1/80))+40 Est-ce correct ?
J'ai vraiment peur de m'être trompée merci de m'aider SOS maths. Mes salutations distinguées. Elise
équation différentielle
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Elise
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sos-math(21)
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Re: équation différentielle
Bonjour,
Pour la démarche initiale, je suis d'accord, c'est pour la gestion des calculs suivants qu'il faut chercher à améliorer le résultat :
tu as obtenu \(z^{,}(t)=\frac{-10+(1/160)\times(v(t))^2}{(v(t)-40)^2^}\), c'est là qu'il faut chercher à travailler différemment :
Multiplie tout par 160 tu dois avoir :
\(z^{,}(t)=\frac{-1600+(v(t))^2}{160(v(t)-40)^2^}=\frac{v(t)^2-40^2}{160(v(t)-40)^2}=\frac{(v(t)-40)(v(t)+40)}{160(v(t)-40)^2}\), on simplifie par (v(t)-40) et il reste
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)+40}{160(v(t)-40)}\) et là il faut encore ruser en écrivant le numérateur comme v(t)+40=v(t)-40+80, ce qui permet de simplifier encore :
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)-40+80}{160(v(t)-40)}=\frac{v(t)-40}{160(v(t)-40)}+\frac{80}{160(v(t)-40)}=\frac{1}{160}+\frac{1}{2}z\)
On retombe sur ce que tu veux sauf que toi tu as écrit 1/360. Est-ce une erreur de texte ?
Pour la suite, la réciproque consiste à dire que si tu prends une fonction z de la forme donnée et que tu supposes qu'elle est solution de l'équation différentielle donnée, alors la fonction v a pour dérivée, celle qui est donnée, il s'agit donc de refaire les calculs en partant de l'équation différentielle et en remplaçant z par son expression et isoler v'(t) d'un côté.
Pour la résolution de l'équation différentielle, on doit avoir une forme générale, il doit y avoir une constante k quelque part car tu n'as rien sur les conditions initiales.
Reprends cela
Pour la démarche initiale, je suis d'accord, c'est pour la gestion des calculs suivants qu'il faut chercher à améliorer le résultat :
tu as obtenu \(z^{,}(t)=\frac{-10+(1/160)\times(v(t))^2}{(v(t)-40)^2^}\), c'est là qu'il faut chercher à travailler différemment :
Multiplie tout par 160 tu dois avoir :
\(z^{,}(t)=\frac{-1600+(v(t))^2}{160(v(t)-40)^2^}=\frac{v(t)^2-40^2}{160(v(t)-40)^2}=\frac{(v(t)-40)(v(t)+40)}{160(v(t)-40)^2}\), on simplifie par (v(t)-40) et il reste
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)+40}{160(v(t)-40)}\) et là il faut encore ruser en écrivant le numérateur comme v(t)+40=v(t)-40+80, ce qui permet de simplifier encore :
\(z^{,}(t)=\frac{v(t)-40+80}{160(v(t)-40)}=\frac{v(t)-40}{160(v(t)-40)}+\frac{80}{160(v(t)-40)}=\frac{1}{160}+\frac{1}{2}z\)
On retombe sur ce que tu veux sauf que toi tu as écrit 1/360. Est-ce une erreur de texte ?
Pour la suite, la réciproque consiste à dire que si tu prends une fonction z de la forme donnée et que tu supposes qu'elle est solution de l'équation différentielle donnée, alors la fonction v a pour dérivée, celle qui est donnée, il s'agit donc de refaire les calculs en partant de l'équation différentielle et en remplaçant z par son expression et isoler v'(t) d'un côté.
Pour la résolution de l'équation différentielle, on doit avoir une forme générale, il doit y avoir une constante k quelque part car tu n'as rien sur les conditions initiales.
Reprends cela
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Elise
Re: équation différentielle
Merci de m'avoir répondu, votre aide m'a été précieuse
Elise
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sos-math(21)
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Re: équation différentielle
Bon courage, tu dois avoir pour la réponse \(z(t)=ke^{\frac{t}{2}}-\frac{1}{80}\);
ensuite en partant de \(z(t)=\frac{1}{v(t)-40}\) tu as \(v(t)=\frac{1}{z(t)}+40\) et tu obtiens en remplaçant z(t) par sa réponse l'expression de v(t).
ensuite en partant de \(z(t)=\frac{1}{v(t)-40}\) tu as \(v(t)=\frac{1}{z(t)}+40\) et tu obtiens en remplaçant z(t) par sa réponse l'expression de v(t).