Nombres complexes : partie réelle et partie imaginaire

[Judith]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant, je n'y comprend pas grand chose, je ne vois pas du tout quoi faire, je ne demande pas qu'on fasse tout l'exercice à ma place mais j'aimerai juste quelques pistes pour pouvoir au moins le commencer.

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels le point M' d'affixe \(Z=z\bar{z}+z(2+i)+\bar{z}(2+3i)+1\) appartient :
a) à l'axe réel b) à l'axe imaginaire.

Note : On pourra utiliser l'une des deux propriétés suivantes :
Z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
ou
Z est réel si et seulement si \(Z=\bar{Z}\).

Merci de cotre compréhension.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Le point M' appartient à l'axe des réels si Z est un réel, c'est à dire si Z= \(\overline{Z}\)

Tu connais Z, maintenant tu dois calculer \(\overline{Z}\), en utilisant les règles de calcul que tu connais sur les conjugués de nb complexes ( voir cours).

Quand tu as calculé \(\overline{Z}\), tu résous l'équation Z= \(\overline{Z}\) pour trouver une condition sur z.

sosmaths

[Judith]

Je ne vois pas comment calculer \(\bar{Z}\) car on a pas z et \(\bar{z}\) ...

Merci.

[sos-math(21)]

Bonjour,
à partir de \(Z=z\bar{z}+z(2+i)+\bar{z}(2+3i)+1\), tu calcules \(\bar{Z}\) en prenant le conjugué :
\(\bar{Z}=\bar{z\bar{z}+z(2+i)+\bar{z}(2+3i)+1}=\bar{z}z+\bar{z}(2-i)+z(2-3i)+1\)
Ensuite tu résous l'équation \(Z=\bar{Z}\), il y a des simplifications et tu dois obtenir des information sur z

[Judith]

Lorsque je résout cette équation, je trouve : \(z(i-3i)+\bar{z}i=0\)

[sos-math(21)]

Tu es sûre de tes calculs ? je ne trouve pas la même chose....
Vérifie tes calculs

[Judith]

J'ai essayer de refaire les calculs, je trouve juste un erreur de signe : \(z(i+3i)+\bar{z}i=0\)

[sos-math(21)]

Je ne suis toujours pas d'accord :
on a bien :
\(Z=z\bar{z}+z(2+i)+\bar{z}(2+3i)+1=\bar{z}z+\bar{z}(2-i)+z(2-3i)+1\)
les 1 et les \(z\bar{z}\) se simplifient : on factorise ensuite en passant tout dans le même membre :
\(z(2+i)+\bar{z}(2+3i)-\bar{z}(2-i)-z(2-3i)=0\) c'est à dire
\(z(2+i-2+3i)+\bar{z}(2+3i-2+i)=0\) soit \(4i(z+\bar{z})=0\) donc \(z+\bar{z}=0\), à toi d'interpréter géométriquement cela

[Judith]

Ah d'accord, je vois mieux, mais je ne vois pas ce que cela signifie géométriquement ...

Merci.

[sos-math(21)]

On sait que \(z+\bar{z}=2Re(z)\), donc si cela vaut zéro, cela signifie que la partie réelle est nulle donc que le complexe est imaginaire pur.
L'ensemble des imaginaires purs est l'axe Oy... (c'est du cours !)
A toi de faire Z imaginaire pur , on peut traduire cela par \(\bar{Z}=-Z\)