PPCM et PGCD

[Olympe]

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés dans un exercice de spécialité maths mon exercice est quasiment résolu il ne me manque que la dernière question.
Voilà l'énoncé : Soient les polynômes définis sur R par A(x)=10x^3+60x^2+110x+60 et B(x)=6x^2+18x+12
1- Calculer A(-1) et A(-2) ce sont ici des calculs simples je trouve dans les deux cas 0.
2- Déterminer des réels a et b tels que pour tout réel x A(x)=(x+1)(x+2)(ax+b) ici après avoir développé et résolu un système je trouve a=10 et b=30.
3- Factoriser B(x). la factorisation donne B(x)=6(x^2+3x+2).

Deuxième partie (plus compliquée):
on suppose que n est un entier naturel
a) expliquer pourquoi PGCD(5n+15;3) est égal à 1 ou à 3. Ma réponse est : les diviseur de 3 ne peuvent-être que 1 ou 3 est-ce suffisant comme justification ?
b)démontrer que PGCD(5n+15;3)=3 si et seulement si n est divisible par 3. 5n+15=5(n+3) si 5n+15 est divisible par 3 cela signifie que n+3 est divisible par 3 car 5 ne l'est pas 3 divise 3 donc n doit-être forcément un multiple de 3 pour que 5n+15 soit divisible par 3.
c) déterminer le PGCD et le PPCM des entiers naturels A(n) et B(n) selon que n est multiple de 3 ou non; pour cette question je bloque, je suppose qu'il s'agit ici de reprendre des éléments du premier travail effectué
A(n)=(n+1)(n+2)(10n+30) et B(n)=6(n^2+3n+2) pouvez-vous m'indiquer quelle est la piste à suivre puisque je ne vois vraiment pas comment faire.
je vous remercie de votre aide future, mes salutations distinguées. Olympe.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Vous pouvez factoriser un peu plus B(x) en cherchant d'abord les racines.
Et après ce sera plus facile pour faire la toute dernière question de la dernière partie.
Dans la deuxième partie, le a) est juste

donc n doit-être forcément un multiple de 3 pour que 5n+15 soit divisible par 3.

Il faut un peu plus expliquer pourquoi si n+3 est divisible par 3, alors n l'est aussi.
Bon courage

[Olympe]

Bonjour, merci de m'avoir répondu.
En suivant vos conseil j'ai calculé les racines de B(n) et je trouve -1 et -2 ce qui me permet de factoriser B(n)=(n+1)(n+2)
de plus A(n)=(n+1)(n+2)(10n+30) donc d'après ces informations PGCD((n+1)(n+2)(10n+30);(n+1)(n+2))=(n+1)(n+2) non ? En fait je ne comprend comment à partir de ce résultat trouver le PGCD selon que n est un multiples ou non de 3. Pouvez-vous m'aider ? Je pense qu'il en est de même pour le PPCM. Merci pour votre aide , mes salutations distinguées. Olympe.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
votre factorisation de B(n) n'est pas correcte, vous avez oublié le 6!
Et dans A(n) vous pouvez mettre 10 en facteur.
et c'est pour cela que vous ne pouvez pas conclure.
A vos crayons

[Olympe]

Bonjour,

Merci pour vos précieux conseil en effet je trouve B(n)=6(n+1)(n+2) et A(n)=(n+1)(n+2)10(n+3) est juste ?
PGCD(6(n+1)(n+2);(n+1)(n+2)10(n+3))=(n+1)(n+2)2PGCD(3;5(n+3)) donc premier cas n multiple de 3 alors PGCD(3;5(n+3))=3 deuxième cas n non multiple de 3 PGCD(3;5(n+3)=1 Est-ce correct mais qu'est ce qui faut faire de 2(n+1)(n+2) ?

Pour le PPCM je ne sais pas du tout comment faire pouvez-vous m'aider ? Merci pour votre aide qui m'est précieuse. Olympe.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
Votre démarche est juste.
De plus vous avez écrit que PGCD(6(n+1)(n+2);(n+1)(n+2)10(n+3))=2(n+1)(n+2)PGCD(3;5(n+3)) donc dès que vous avez le deuxième PGCD, vous avez le premier.

Pour le PPCM, je vous rappelle une règle PPCM(a,b)*PGCD(a,b)=a*b

Bon courage pour terminer

[Olympe]

Bonjour, merci pour vos indications mais voilà je ne comprend pas cette phrase que vous m'avez écrite :
PGCD(6(n+1)(n+2);(n+1)(n+2)10(n+3))=2(n+1)(n+2)PGCD(3;5(n+3)) donc dès que vous avez le deuxième PGCD, vous avez le premier.
A quoi correspond le terme premier ?
Si n est un multiple de 3 alors PGCD (A(n);B(n))=3 et si n n'est pas un multiple de 3 alors PGCD(A(n);B(n))=1 est juste ou est-ce égale a : si n est un multiple de 3 PGCD(A(n):B(n))=(n+1)(n+2)*2*3 et si n n'est pas un multiple de 3 PGCD(A(n);B(n))=(n+1)(n+2)*2*1 ?
Merci pour l'indication concernant le PPCM mais il faut auparavant que je trouve le PGCD pour le calculer si j'ai bien compris !
Merci pour votre aide Olympe

[SoS-Math(2)]

Bonjour Olympe et bonne année.
Dans ma phrase, il fallait mettre à la fin le mot PGCD.
Vous avez trouvé la solution :

si n est un multiple de 3 PGCD(A(n):B(n))=(n+1)(n+2)*2*3 et si n n'est pas un multiple de 3 PGCD(A(n);B(n))=(n+1)(n+2)*2*1 ?

C'est effectivement la bonne réponse.
A bientôt sur SoS-Math

[Olympe]

Re-bonjour, tout d'abord je vous souhaite également une bonne et heureuse année 2010 et je vous remercie pour l'aide que vous m'avez apportée pour ce problème enfin résolu ! Encore merci Olympe.

[SoS-Math(9)]

Bonne année à toi aussi Olympe.

SoSMath.