SOS-MATH

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée et je suis malheureusement bloquée pouvez-vous m'aider ?
Voilà l'énoncé et mes recherches : Un corps de masse m est laché à l'instant t=0 d'un point O situé à une hauteur h. Le centre de gravité de ce corps est repéré verticalement par son abscisse sur la verticale passant par O et orientée vers le sol. Deux forces s'appliquent sur ce solide son poids P et la résistance de l'air R qui s'oppposeau mouvement avec une intensité proportionnelle au carré de la vitesse du solide. Le coefficient k de proportionnalitén est propre au solide.
D'après la seconde loi de newton le bilan des forces conduit à P+R=Mvecteur a où a est le vecteur accélération du mobile.

1-Expliquer que la vitesse v du solide est une fonction vérifiant l'équation différentielle:
v'=g-(k/m)v^2
Je ne sais pas du tout comment faire pour cette question dois-je partir du résultat ou de la formule concernant la vitesse v=d/t ?

2- l'expèrience prouve que le solide atteint une vitesse limite
a) Quelle est à la vitesse limite l'accélération du mobile ? Pour cette question je pense que le solide ne subit aucune accélération puisqu'il a atteint sa vitesse limite.
b) En déduire la vitesse limite du solide en fonction de m, K et g. Je ne sais pas à quoi correspond la vitesse limite par rapport à l'accélération puisque d'après la question il faut en déduire, pouvez-vous me donner une piste ?
c) Lors d'un saut en parachute une personne de 80 kg (matériel compris) a constaté qu'avant d'ouvrir son parachute il avait atteint la vitesse limite de 200 km.h-1 et qu'après l'ouverture du parachute sa vitesse s'est stabilisée à 22 km.h-1. Calculer les 2 valeurs de la constante k avant et après l'ouverture du parachute ( on prendra g=10 m.s-1)

Pour cette question s'agit-il juste de remplacer v par 200 puis v par22 pour trouver k ou faut-il convertir les vitess en m.s-1 ?
Merci d'avance pour votre aide future car face à la complexité du problème qui mélange mathématiques et physique je me sens déboussolée ! Olympe

Bonsoir Olympe,

Mes souvenirs de physique sont un peu lointains mais je vais essayer de te donner quelques pistes :
l'accélération est égale à la dérivée de la vitesse et elle est égale à" l'intensité" des forces qui s'exercent sur le mobile ici P et R or P = mg et R = kv^2
d'où \(mg-kv^2=m\vec{a}\) car P accélère et R résiste donc on a un signe - : tu peux alors en déduire l'équation différentielle.
Ensuite si la vitesse est constante l'accélération est bien nulle comme tu l'as pressenti donc \(g=\frac{k}{m}v^2\) et tu peux en déduire v en fonction de g, m et k.
Applique ensuite cette formule aux données du parachutiste pour terminer il faut convertir les vitesses en mètre par seconde.

Bonne continuation

Bonjour, tout d'abord merci de m'avoir répondu car vous m'avez fournit une aide précieuse pour toute la première partie.
Après avoir suivie vos conseil j'ai convertit 200 km.h-1 en m.s-1 ce qui me donne 5.55 m.s-1 et 22 km.s-1=0.61 m.s-1
L'expression de la vitesse limite du solide en fonction de m, k et g est v^2=(g*m)/k
d'où pour le calcul des deux constantes k avant et après l'ouverture du parachute 5.55^2=(10*80)/k k=25.97 avant l'ouverture du parachute et 0.61^2=(10*80)/k, k=2162.1 après l'ouverture du parachute. Je trouve ces valeurs pour le moins bizarre pouvez-vous m'indiquer mon erreur ? Etes-vous sûr qu'il faille convertir les valeur en m.s-1 ?

Le problème ne s'arrète pas là il y a une deuxième partie que voici :
Un solide de masse 0.5 kg et présentant un coefficient k=1/320 est laché à l'instant t=0 d'un point 0 situé à une hauteur h (h est suffisament grande pour permettre l'étape suivante), g=10 m.s-2
a) calculer la vitesse limite dans la chute. v^2=(g*m)/k, v^2=(10*0.5)/(1/320)=5*320=1600 d'où v=40 m.s-1
b)On pose z(t)=1/(v(t)-40), t appartient à l'intervalle [0;20]
Etablir que z est solution de l'équation différentielle: z'=(1/2)z+(1/160)
Pour cette question je bloque j'ai calculé z'(t)=-v'(t)/(v(t)-40)^2) et j'ai remplacé z par 1/(v(t)-40) dans l'équation différentielle mais je ne parvient pas à montrer l'égalité. Est-ce la bonne méthode ?
c) Etablir la réciproque de la propriété précédente. Je suis à nouveau bloquée pour cette question.
d) Résoudre l'équation différentielle. Les solutions de E' sont les solutions de la forme z(x)=k.eindice(ax)-(b/a) avec k appartient à N a=(1/2) et b=(1/160)
d'où z(t)=k.e indice (1/2x)-(1/80) , est correct ?

En déduire compte tenu des conditions initiale l'expression de v(t). Pour cette question je trouve v(t)=(1/(k.e indice (1/2)x-(1/80))+40. Est juste car je crains fort avoir fais un erreur de parcours ! Merci d'avance pour votre aide future me salutations distinguées . Olympe

Bonsoir Olympe,

Je n'ai pas tout vérifié mais je trouve les mêmes valeurs de k (multipliées par 1000 en ayant convertit 8O Kg en grammes).
Pour z' je n'ai pas d'autre méthode et il faut peut être aussi utiliser la relation \(v^,(t)=g-\frac{k}{m}v(t)^2\).

Pour le d) je suis partiellement d'accord avec la résolution \(z(t)=k.e^{\frac{t}{2}}-\frac{1}{80}\) mais la condition initiale doit te permettre de calculer \(k\) à savoir que lorsque tu remplaces t par 0 alors \(z(0)=\frac{1}{0-40}\) puisque la vitesse initiale est 0 et aussi \(z(0)=ke^0-\frac{1}{-80}\) déduis-en \(k\).
Ensuite le reste est correct.

Bonne continuation

Bonjour,

J'éprouve encore quelques soucis dans la résolution de mon problème malgré votre aide.
En effet je trouve z'(t)=(-10+(1/160)v(t)^2)/(v(t)-80v(t)+1600 d'un coté et de l'autre je trouve z'(t)=(v(t)+40)/(160v(t)-6400) je ne parviens donc pa à prouver l'égalité qui me permet de dire que z(t)=1/(v(t)-40) est solution de l'équation différentielle^pouvez-vous m'aider ?

Ensuite il y a une chose que je n'ai pas compris, vous dites que z(t)=k.e indice 1/2t -(1/80) et z(0)=k.e indice 1/2t -(1/-80) ces deux expressions ne se valent pas il y a t-il un signe moins en trop dans la deuxième expression ? Laquelle est a retenir pour ma part j'ai trouvé la première . C'est donc à partir de la première expression que j'ai calculé k et je trouve k=-1/80 est-ce juste ?

L'espression de v(t) est donc v(t)=1/(-1/80.e indice 1/2t (1/80))+40 est ce juste ? puis que après il me demande de retrouver la vitesse limite de chute où j'avais trouvé 40 m.s-1 le dénominateur s'annulant je trouve 40 m.s-1 mais cela me parait faux. Il y a t-il une erreur ?

Merci pour votre aide mes salutations distinguées; Olympe.

Bonjour Olympe,

Pars de \(z^,=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{-10+\frac{v(t)^2}{160}\), quand tu ajoutes tu obtiens \(z^,=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{\frac{v(t)^2-1600}{160}=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{\frac{(v(t)-40)(v(t)+40)}{160}\) ensuite tu simplifies et tu remplace \(v(t)+40\) par \((v(t)-40)+80\).
Il doit te rester la bonne expression de \(z^,\), à savoir \(\frac{1}{2}z+\frac{1}{160}\).

Ensuite pour \(k\) il y a effectivement un signe - en trop devant le 80 du dénominateur de mon dernier message.
Tu as d'une part \(z(0)=-\frac{1}{40}\) et d'autre part \(z(0)=k-\frac{1}{80}\) déduis-en \(k\) qui ne vaut pas \(\frac{-1}{80}\).

Pour la vitesse limite, avec tes calculs de \(v(t)\) de ton premier message, \(40ms^{-1}\) me semble juste.

Bonne fin d'exercice et bonne année