chute d'un corps maths

[Olympe]

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée et je suis malheureusement bloquée pouvez-vous m'aider ?
Voilà l'énoncé et mes recherches : Un corps de masse m est laché à l'instant t=0 d'un point O situé à une hauteur h. Le centre de gravité de ce corps est repéré verticalement par son abscisse sur la verticale passant par O et orientée vers le sol. Deux forces s'appliquent sur ce solide son poids P et la résistance de l'air R qui s'oppposeau mouvement avec une intensité proportionnelle au carré de la vitesse du solide. Le coefficient k de proportionnalitén est propre au solide.
D'après la seconde loi de newton le bilan des forces conduit à P+R=Mvecteur a où a est le vecteur accélération du mobile.

1-Expliquer que la vitesse v du solide est une fonction vérifiant l'équation différentielle:
v'=g-(k/m)v^2
Je ne sais pas du tout comment faire pour cette question dois-je partir du résultat ou de la formule concernant la vitesse v=d/t ?

2- l'expèrience prouve que le solide atteint une vitesse limite
a) Quelle est à la vitesse limite l'accélération du mobile ? Pour cette question je pense que le solide ne subit aucune accélération puisqu'il a atteint sa vitesse limite.
b) En déduire la vitesse limite du solide en fonction de m, K et g. Je ne sais pas à quoi correspond la vitesse limite par rapport à l'accélération puisque d'après la question il faut en déduire, pouvez-vous me donner une piste ?
c) Lors d'un saut en parachute une personne de 80 kg (matériel compris) a constaté qu'avant d'ouvrir son parachute il avait atteint la vitesse limite de 200 km.h-1 et qu'après l'ouverture du parachute sa vitesse s'est stabilisée à 22 km.h-1. Calculer les 2 valeurs de la constante k avant et après l'ouverture du parachute ( on prendra g=10 m.s-1)

Pour cette question s'agit-il juste de remplacer v par 200 puis v par22 pour trouver k ou faut-il convertir les vitess en m.s-1 ?
Merci d'avance pour votre aide future car face à la complexité du problème qui mélange mathématiques et physique je me sens déboussolée ! Olympe

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Olympe,

Mes souvenirs de physique sont un peu lointains mais je vais essayer de te donner quelques pistes :
l'accélération est égale à la dérivée de la vitesse et elle est égale à" l'intensité" des forces qui s'exercent sur le mobile ici P et R or P = mg et R = kv^2
d'où \(mg-kv^2=m\vec{a}\) car P accélère et R résiste donc on a un signe - : tu peux alors en déduire l'équation différentielle.
Ensuite si la vitesse est constante l'accélération est bien nulle comme tu l'as pressenti donc \(g=\frac{k}{m}v^2\) et tu peux en déduire v en fonction de g, m et k.
Applique ensuite cette formule aux données du parachutiste pour terminer il faut convertir les vitesses en mètre par seconde.

Bonne continuation

[Olympe]

Bonjour, tout d'abord merci de m'avoir répondu car vous m'avez fournit une aide précieuse pour toute la première partie.
Après avoir suivie vos conseil j'ai convertit 200 km.h-1 en m.s-1 ce qui me donne 5.55 m.s-1 et 22 km.s-1=0.61 m.s-1
L'expression de la vitesse limite du solide en fonction de m, k et g est v^2=(g*m)/k
d'où pour le calcul des deux constantes k avant et après l'ouverture du parachute 5.55^2=(10*80)/k k=25.97 avant l'ouverture du parachute et 0.61^2=(10*80)/k, k=2162.1 après l'ouverture du parachute. Je trouve ces valeurs pour le moins bizarre pouvez-vous m'indiquer mon erreur ? Etes-vous sûr qu'il faille convertir les valeur en m.s-1 ?

Le problème ne s'arrète pas là il y a une deuxième partie que voici :
Un solide de masse 0.5 kg et présentant un coefficient k=1/320 est laché à l'instant t=0 d'un point 0 situé à une hauteur h (h est suffisament grande pour permettre l'étape suivante), g=10 m.s-2
a) calculer la vitesse limite dans la chute. v^2=(g*m)/k, v^2=(10*0.5)/(1/320)=5*320=1600 d'où v=40 m.s-1
b)On pose z(t)=1/(v(t)-40), t appartient à l'intervalle [0;20]
Etablir que z est solution de l'équation différentielle: z'=(1/2)z+(1/160)
Pour cette question je bloque j'ai calculé z'(t)=-v'(t)/(v(t)-40)^2) et j'ai remplacé z par 1/(v(t)-40) dans l'équation différentielle mais je ne parvient pas à montrer l'égalité. Est-ce la bonne méthode ?
c) Etablir la réciproque de la propriété précédente. Je suis à nouveau bloquée pour cette question.
d) Résoudre l'équation différentielle. Les solutions de E' sont les solutions de la forme z(x)=k.eindice(ax)-(b/a) avec k appartient à N a=(1/2) et b=(1/160)
d'où z(t)=k.e indice (1/2x)-(1/80) , est correct ?

En déduire compte tenu des conditions initiale l'expression de v(t). Pour cette question je trouve v(t)=(1/(k.e indice (1/2)x-(1/80))+40. Est juste car je crains fort avoir fais un erreur de parcours ! Merci d'avance pour votre aide future me salutations distinguées . Olympe

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Olympe,

Je n'ai pas tout vérifié mais je trouve les mêmes valeurs de k (multipliées par 1000 en ayant convertit 8O Kg en grammes).
Pour z' je n'ai pas d'autre méthode et il faut peut être aussi utiliser la relation \(v^,(t)=g-\frac{k}{m}v(t)^2\).

Pour le d) je suis partiellement d'accord avec la résolution \(z(t)=k.e^{\frac{t}{2}}-\frac{1}{80}\) mais la condition initiale doit te permettre de calculer \(k\) à savoir que lorsque tu remplaces t par 0 alors \(z(0)=\frac{1}{0-40}\) puisque la vitesse initiale est 0 et aussi \(z(0)=ke^0-\frac{1}{-80}\) déduis-en \(k\).
Ensuite le reste est correct.

Bonne continuation

[Olympe]

Bonjour,

J'éprouve encore quelques soucis dans la résolution de mon problème malgré votre aide.
En effet je trouve z'(t)=(-10+(1/160)v(t)^2)/(v(t)-80v(t)+1600 d'un coté et de l'autre je trouve z'(t)=(v(t)+40)/(160v(t)-6400) je ne parviens donc pa à prouver l'égalité qui me permet de dire que z(t)=1/(v(t)-40) est solution de l'équation différentielle^pouvez-vous m'aider ?

Ensuite il y a une chose que je n'ai pas compris, vous dites que z(t)=k.e indice 1/2t -(1/80) et z(0)=k.e indice 1/2t -(1/-80) ces deux expressions ne se valent pas il y a t-il un signe moins en trop dans la deuxième expression ? Laquelle est a retenir pour ma part j'ai trouvé la première . C'est donc à partir de la première expression que j'ai calculé k et je trouve k=-1/80 est-ce juste ?

L'espression de v(t) est donc v(t)=1/(-1/80.e indice 1/2t (1/80))+40 est ce juste ? puis que après il me demande de retrouver la vitesse limite de chute où j'avais trouvé 40 m.s-1 le dénominateur s'annulant je trouve 40 m.s-1 mais cela me parait faux. Il y a t-il une erreur ?

Merci pour votre aide mes salutations distinguées; Olympe.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Olympe,

Pars de \(z^,=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{-10+\frac{v(t)^2}{160}\), quand tu ajoutes tu obtiens \(z^,=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{\frac{v(t)^2-1600}{160}=\frac{1}{(v(t)-40)^2}\times{\frac{(v(t)-40)(v(t)+40)}{160}\) ensuite tu simplifies et tu remplace \(v(t)+40\) par \((v(t)-40)+80\).
Il doit te rester la bonne expression de \(z^,\), à savoir \(\frac{1}{2}z+\frac{1}{160}\).

Ensuite pour \(k\) il y a effectivement un signe - en trop devant le 80 du dénominateur de mon dernier message.
Tu as d'une part \(z(0)=-\frac{1}{40}\) et d'autre part \(z(0)=k-\frac{1}{80}\) déduis-en \(k\) qui ne vaut pas \(\frac{-1}{80}\).

Pour la vitesse limite, avec tes calculs de \(v(t)\) de ton premier message, \(40ms^{-1}\) me semble juste.

Bonne fin d'exercice et bonne année