Fonction exp, ln, et puissances

[Léo12]

Bonjour,
J'ai un DM à faire sur les fonctions exp, ln et puissances et j'ai quelques questions sur un exercice.
J'ai déjà commencé à réfléchir sur les différentes questions et j'ai fait les courbes sur géogebra et le tableur sur excel (les deux autres fichiers sont en pièces jointes).
Voici le sujet :

1°) a) Sur Geogebra, tracer sur un même graphique les fonctions exponentielle et logarithme (on pourra taper dans la saisie : « C_e (x) = exp (x) » et « C_l (x) = ln (x) »).
b) Créer un curseur « a » d’incrément 0,1 et d’intervalle [0 ; 5]. Tracer en couleur la courbe d’équation y = xa (on pourra taper dans la saisie : « C_n (x) = x^a) »).
* 2°) Placer le curseur « a » sur 1. Imprimer les courbes et les insérer dans le cours si ce n’est déjà fait.
*
3°) Placer le curseur « a » sur 2. Comparer les positions respectives des courbes exponentielle et carrée sur R*+. Démontrer ce résultat. Comment peut-on en déduire des positions respectives des courbes logarithme et racine carrée sur R*+?
* 4°) a) Placer le curseur « a » sur 3. Choisir une échelle « axe x : axe y » 1 : 50. Que remarque-t-on ?
b) Placer le curseur « a » sur 4. Choisir une échelle « axe x : axe y » 1 : 1 000. Que remarque-t-on ? c) Que se passe-t-il quand on place le curseur « a » sur 5 ?
*
5°) Sur Excel, dans un tableau à 4 colonnes et 15 lignes, dont celle de titre, inscrire dans la première colonne les entiers de 2 à 15, dans la deuxième ex – x3 où x est la variable de la première colonne, dans la troisième ex – x4 où x est la variable de la première colonne, dans la quatrième ex – x5 où x est la variable de la première colonne. Imprimer et coller ce tableau. Comparer ces résultats avec ceux du 4°). Quel résultat du cours (et démontrer lors d’un précédent devoir à rédiger) est corroboré par ces résultats ?

Téléchargez la figure ici.

Donc à la question 3. j'ai mis :

La courbe exponentielle est au dessus de la courbe carrée sur \(R^*+\).
<=> \(e^x \geq x^2\)
(ensuite je suis pas sur s'il faut faire comme ça, j'ai décidé d'étudier la dérivée seconde de la fonction suivante)
On considère la fonction \(f(x)=e^x - x^2\) définie sur \(R^*+\).

\(f\) est la différence d'une fonction exponentielle et d'une fonction carrée toute deux dérivables sur \(R\), et donc sur \(R^*+\). Donc f est dérivable sur \(R^*+\).

On a pour tout x appartenant à \(R^*+\) :
f'(x) =\(e^x - 2x\)

f' est la différence d'une fonction exponentielle et d'une fonction affine toute deux dérivables sur \(R\), et donc sur \(R^*+\). Donc f' est dérivable sur \(R^*+\).

On a alors pour tout x appartenant à \(R^*+\) :
f''(x) = \(e^x - 2\)

On étudie le signe de f''(x) :
f''(x)\(\geq 0\)
<=> \(e^x \geq 2\)
<=> \(x \geq ln (2)\)

Après j'ai fait le tableau de variations, on trouve que f' est croissante sur \([ln2;+oo[\)

Donc on en déduit que le signe de f'(x) et j'en ai déduit que la solution de \(f(x) \geq 0\) est x = -ln2 d'après moi mais je ne suis pas sur.
Donc si la solution est - ln 2 alors on en déduit que l'exp est au dessus de la fonction carrée sur R*+.

Je suis pas sur du tout si mon raisonnement tiens la route,

Merci d'avance

Léo12

[SoS-Math(2)]

Bonjour Léo,
le début est correct.

Donc on en déduit que le signe de f'(x) et j'en ai déduit que la solution de f(x) \(\geq\) 0 est x = -ln2 d'après moi mais je ne suis pas sur.
Donc si la solution est - ln 2 alors on en déduit que l'exp est au dessus de la fonction carrée sur R*+.

Je ne vois pas l'intérêt de la partie que j'ai mise en rouge.
On vous demande d'étudier les deux courbes sur R*+ donc après avoir trouvé le signe de f '(x) sur R*+, vous pouvez trouver le tableau de variations de f sur R*+ et avec les limites en et +inf en déduire le signe de f(x) sur R*+
Bon courage pour la suite

[Léo12]

Bonjour,

Merci pour vos corrections, j'ai donc modifié et dit que d'après le tableau des variations de f' on pouvait en déduire le signe de f'(x) (positif sur \(R*+\)) et ensuite j'ai fait les variations de f (avec les limites en 0+ et +oo) pour confirmé que la courbe de l'exponentielle était au-dessus de celle de la fonction carrée.

Au niveau de la dernière partie de la question je crois qu'il faut dire que le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle et que la fonction racine carrée est également la réciproque de la fonction carrée, alors la fonction racine carrée est au dessus de la fonction logarithme népérien sur \(R*+\).
Est-ce juste ?

Pour la question 4°) a) je n'ai pas très bien compris ce qu'il fallait remarqué, j'ai juste constaté que la fonction logarithme népérien était au dessous de la fonction cube sur \(R*+\) et que les fonctions cube et la fonction exponentielle se croisaient deux points.
Au niveau du b) j'ai uniquement constaté que la fonction exponentielle coupait la fonction \(x^4\) en un point.
Est ce que je suis sur la bonne voie, car là j'ai sérieusement du mal à comprendre qu'elle est l'enjeu de ces questions.

Merci d'avance
Léo

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
attention à ce que vous avez écrit .

la fonction racine carrée est au dessus de la fonction logarithme népérien sur R*+.

Ce sont les courbes qui sont l'une au dessus de l'autre, pas les fonctions !
N'oubliez pas de préciser que C_e et C_l sont symétriques par rapport à la droite y = x ainsi que les courbes représentant les fonctions carré et racine.

Vos conclusions sont correctes mais mal rédigées. Ce ne sont pas les fonctions qui se coupent mais ce sont les courbes..
Et la question 5 confirmera vos conclusions.
A bientôt

[Léo12]

Bonsoir,

J'ai essayé cette après-midi pour la question, j'ai donc fait ce tableau sur excel :

Or dans la colonne \(e^x-x^3\) il n'y a un changement de signe qu'une fois entre les lignes 4 et 5 (il manquerait donc celui entre 1 et 2), je ne sais donc pas trop quoi faire au niveau de celui là...
Sinon au niveau \(e^x-x^4\), on remarque bien qu'il y a un changement de signe entre 8 et 9, confirmant bien que les deux courbes se croisent en un point.
Pour \(e^x-x^5\) j'avais oublié de mettre mon observation, donc j'ai observé que les deux courbes se croisaient (ce qui est confirmé par le résultat sur excel, on voit un changement de signe entre 12 et 13).

Ensuite au niveau du résultat du cours corroboré je pense peut-être aux propriétés sur les limites des exponentielles ("l'exponentielle l'emporte sur les puissances").

Bonne soirée,

Léo

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
votre tableau est juste et vos conclusions me paraissent correctes. Votre professeur vous parle d'un DM précédent donc vous devez avec ce DM avoir confirmation de vos conclusions.
A bientôt sur SoS-Math