SOS-MATH

Bonjour, j'ai deux exercices à faire pour lundi et je bloque à certains endroit.

Exercice1:
on note w= e^(2ipi/5)
1)calculer w^5. J'ai trouver 1
2) Montrer que 1+w+w^1+w^2+w^3+w^4=0
Ici, ji suis arrivé avec la somme des terme d'une suite geometrique
3)En déduire que 1+(w+w^-1)+(w^2+w^-2)=0 La je comprendque sa fait zero mais j'arrive pas a le demonter
4) en revenant a la definition de l'exponenentielle complexe simplifier (w+w^-1)et (w^2+w^-2)
La je vois pas comment faire pourtant j'ai compris la definition de l'exponentielle
5) En utilisant La formule cos(2x)=2cos^2(x)-1 montrer que cos (2pi/5) est solution de 4x^2+2x-1=0
La j'ai fait le discriminant qui est egale a 20 , jai trouve les racines mais aprés je ne sais pas.
6) en deduire la valeur de cos (2pi/5) je pense que si je trouve la 5 je trouve la 6


Si vous pouviez me donner des pistes pour me debloquer , je vous parviendrez l'exercice 2 quand j'aurais reflechi.
Merci par avance bonne journée

Bonsoir Paul,

Pour la 2), tu peux également remarquer que :

\(w^5-1=(w-1)(w^4+w^3+w^2+w+1)\)

Par conséquent, \(w^5-1=0\) équivaut à \(w=1\) ou \(w^4+w^3+w^2+w+1=0\)

Comme \(w\) n'est pas nul, on a \(w^4+w^3+w^2+w+1=0\).

Pour la 3), il faut remarquer que : \(w^4+w^3+w^2+w+1=0\) équivaut à \(w^{-2}(w^4+w^3+w^2+w+1)=0\)

Pour la 4), tu sais que \(e^{ix}+e^{-ix}=2cos(x)\).

Bonne continuation.

Merci de votre aide j'ai mieux compris
Mais alors pour l'exercice 2; je bloque direct sur la 1)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j)
On considere l'application f qui à tout point M du plan d'affixe z non nul associe M' d'affixe z'=1/\(\overline{z}\)

1)determiner les images A' et B' des points A(1+i) et B(1-i).Placer ces points sur un graphique.
Alors la je vois pas comment on fait pourtant cela doit etre banale, il faut faire un graphique avec un cercle
2) Quels sont les points invariants par f, c'est à dire quels sont les points M qui verifient f(M)=M?
3) Montrer que O,M et M' sont alignés et que OM*OM'=1
4) soit I le cercle de centre C d'affixe 1 et de rayon 1
a) montrer que M appartient à I equiavaut a |z-1|=1
b) Montrer que |z-1|=1 equivaut à |z'-1|=|z'|
c) en deduire que l'image du cercle I privé du point O est une droite dont on donnera une équation
d) Placer un point D quelconque sur I , D non nul puis construire son image D' par l'application f.

Voila je pense reussir quelques question mais pour construire les images je vois pas comment on fait et 4)a)b) de même
si vous pouvez me donner quelques pistes
Merci d'avance bonne journée
Paul

Bonjour Paul,
C'est-à-dire ? Peux-tu me dire exactement ce qui te bloque ?
Bonne continuation.

comment déterminer les points A' et B' et comment les placer surtout?
Merci beaucoup

On te donne z'\(=\frac{1}{\bar{z}}\).

Tu remplaces \(z_A\) par \(1+i\) ; tu obtiens :

\(\frac{1}{\bar{1+i}}=\frac{1}{1-i}\) ; tu multpiles en suite numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée de 1-i afin d'obtenir la forme algébrique de l'image.

Bon courage.

Merci de votre aide , j'ai trouvé zA=2-2i et Zb== 2+2i est cela? j'ai calculé avec la forme conjugué!

Pour la 2) il faut poser z=x+iy et resoudre M'=M
z'=z
1/zbarre= z
1/zbarre=x+iy
Mais la je bloque encore

pour la 3) il faut prendre les affixes des points O, M et M' est aprés trouvais que vecteur OM et OM' =pi

pour la 4 )
a) et b)j'arrive pas à démontrer
Merci de l'aide que vous m'apportez
Paul

C'est faux.

Reprenons, pour l'affixe de A, nous avons successivement :

\(\frac{1}{\bar{1+i}}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\).

Fais de même pour l'affixe de B.

Puis, pour l'affixe de M, on a (mais ce n'est pas vraiment demandé) :

\(\frac{1}{\bar{x+iy}}=\frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{(x-iy)(x+iy)}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{iy}{x^2+y^2}\).

Pour la question 2), il te faudra utiliser cette propriété :

\(z\times\bar{z}=|z|^2\)

Voilà, mais je ne vais pas pouvoir t'aider à faire ton exercice jusqu'à la fin, cela serait trop long et je ne peux pas remplacer ton professeur.

Bonne continuation.