SOS-MATH

Bonjour,
je bloque sur un exercice, je n'arrive pas à trouver "l'astuce".
Le sujet est en pièce jointe.

1) *J'ai d'abord essayé de partir de x>0 pour me ramener à ln(x+1)-lnx mais cela n'a pas aboutit.

*Après j'ai essayé de faire une étude de fonction de f(x)= ln(x+1)-lnx.
Voici la dérivée: f'(x)= (1/(x+1))-(1/x)
f'(x)=-1/((x+1)x)

Donc sur [0;+ Inf[, f est strictement décroissante.
f(x) tend vers +Inf quand x tend vers 0
et f(x) tend vers 0 quand x tend vers + Inf (car f(x) = ln(1 +1/x)
Donc f(x)>0 mais ceci ne m'avance à rien.

*Après, je "sens" qu'il y a quelques choses comme le taux d'accroissement
car f(x)= (ln(1+x)-lnx)/(1+x-x)
Et donc la limite en un réel donnée, correspondrait à la dérivée de ce point.
Mais je n'arrive pas à me rattacher à l'énoncé.

Merci de votre aide.

Bonsoir Jack,
Je te conseille d'étudier les variations des fonctions définies sur ]0 ; +oo[ par :
\(f(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x+1}\) et \(g(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x}\) ;
et de déduire leurs signes des tableaux de variations.
Bon courage.

Bonjour Sos-math(22),
je suis vos conseils mais je bloque dans l'étude de g(x).
Comment peut ton lever la forme indéterminée de g(x) quand x tend vers 0 ?
J'ai essayé à me ramener à une limite remarque (ln(x+1)/x) avec x= 1/X mais l'indétermination persiste.
Merci

Bonjour,

Il suffit d'écrire :

\(g(x)=ln(x+1)-ln(x)-\frac{1}{x}=ln(\frac{x+1}{x})-\frac{1}{x}=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\).

Lorsque tend tend vers 0 par valeurs positives, \(\frac{1}{x}\) tend vers +oo.

On est donc ramené à l'étude de la limite de \(ln(1+X)-X\) lorsque \(X\) tend vers +oo.

Or, \(ln(1+X)-X=X(\frac{ln(1+X)}{X}-1)=X(\frac{ln(X(1+\frac{1}{X}))}{X}-1)=X(\frac{lnX}{X}+\frac{ln(1+\frac{1}{X})}{X}-1)\)

Peut-être y a-t-il une méthode plus courte, mais je ne la vois pour l'instant.

Enfin, cette étude de limite n'est pas forcement indispensable : tu cherches simplement les variations de g afin d'en déduire le signe.

Je te laisse terminer, bon courage.

Bonjour,
merci de votre réponse Sos-math(22).
Cependant, il y a quelque chose qui me dérange, c'est qu'avec cette méthode, on n'exploite pas la forme particulière : (f(x)-f(a))/(x-a).
Alors une idée m'est venu, peut on utiliser le théorème des acrroissement finis ?
Je ne l'ai encore jamais appliqué mais je sais que pour une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, il existe un réel c appartenant [a,b] tel que : \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)=f'(c)
Et après ils suffiraient de faire un encadrement de f'(c). Ici b=x+1 et a=x mais comment choisir c ?
Qu'en pensez vous ? (je préférerais utiliser cette méthode comme cela, j'utilise ce théorème).

Merci.

Rebonjour,

Oui, c'est une excellente idée. Mais normalement, ce théorème n'est plus au programme de TS...

Cependant, si vous l'avez vu en cours et que votre professeur vous autorise à l'utiliser, ce théorème est parfaitement adapté à cet exercice !

Reprenons la question 1)

On considère la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par f(x)=ln(x).

Pour x dans cet intervalle, on pose b=x+1 et a=x.

D'après le théorème des accroissement finis (préciser les hypothèses nécessaires ici), il existe un réel c appartenant à ]a;b[ tel que :

\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)=f ' (c) d'où \(ln(x+1)-ln(x)=\frac{1}{c}\)

Or, a<c<b donc \(\frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\)

D'où : \(\frac{1}{x+1}<ln(x+1)-ln(x)<\frac{1}{x}\)

Je te laisse rédiger la seconde question en utilisant ce même théorème.

Bon courage.

Bonjour Sos-math (22),
Merci de votre aide et de vos indications pour l'utilisation du théorème.
J'ai réussi la question 2)
mais je bloque à la question 3 qui est:

3) Montrer que pour tout n>2, on a \(\fra{1}{(n+1)ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<\fra{1}{n ln (n)}\)
Même principe, je pose b= 1+n et a=n
Considèrons la fonction f(x)= ln(x) définie sur ]0;+oo[.

Continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, donc d'après le théorème des accroissements finis, il exsite un réel c appartenant à ]a;b[ tel que \(\fra{ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))}{ln(1+n)-ln(n)}\)=ln'(c)=1/c

Même proécédé que dans la question 1),
on a : a<c<b
d'où 1/b<1/c<1/a

donc on aurait:\(\fra{1}{ln(n+1)}<\fra{ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))}{ln(1+n)-ln(n)}<\fra{1}{ln(n)}\)
Pour me ramener à la forme demandée, je multiplie par le dénominateur:
\(1-\fra{ln}{ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<-1+\fra{ln(1+n)}{ln(n)}\)
ou encore:
\(\fra{(n+1)ln(1/n +1)}{(n+1)ln(n+1)}<ln(ln(1+n)) - ln(ln (n))<\fra{ln(1+n)}{ln(n)}\) (j'ai simplifié la différence des ln
et j'ai fait apparaître le même dénominateur pour pouvoir comparer avec l'énoncé.
Cependant, je n'abouti pas.
J'essaie de montrer que \(\fra{(n+1)ln(1/n +1)}{(n+1)ln(n+1)}>\fra{1}{(n+1)ln(n+1)}\)

Donc que : (n+1)ln (1/n +1)>1
Il y a t-il une meilleur méthode qu'un encadrement ?


Merci !

Bonjour Jack,
Oui, il y a une autre méthode qui consiste à considérer la fonction f définie sur I=]1;+oo[ par f(x)=ln(ln(x)).
f est définie sur I, car pour tout x appartenant à I on a ln(x)>0.
f est de plus dérivable sur I comme composée de deux fonctions dérivables.
Pour tout x de I, on a : f ' (x)=\(\frac{1}{xln(x)}\).
Je te laisse terminer en utilisant la même méthode que précédemment.
Renvoie moi la fin de la solution afin que je puisse vérifier.
Bon courage.

Bonsoir,
J'ai réussi ! Merci !
Un grand merci à vous et bonnes fêtes !

Bonjour,
Merci, à toi aussi.
Et bonne continuation.