fonction ln et suite

[daniel]

Bonjour,

Merci à toutes et à tous de bien vouloir m'aider à résoudre l'exercice suivant :


On considère la fonction définie sur ]-1; + inf [ par :

f(x)=x-(ln(1+x))/(1+x), soit (C) sa courbe représentative.

Partie A :

1 : Calculer f '(x) sur ]-1; + inf [

2 : Pour tout x de l'intervalle ]-1; + inf [, on pose N(x)=(1+x)^2-1+ln(1+x)
a-Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1; + inf [
b-Calculer N(0)
c-En déduire les variations de f

3 :Soit D la droite d'équation y=x,
- calculer les points d'intersection de (C) et (D)

Partie B :

1 : Démontrer que si x appartient à [0;4], alors f(x) appartient à [0;4]
2 : On considère la suite (Un) définie par :

U0=4, et Un+1=f(Un) pour tout n de N

-Calculer les coordonnées de U0, U1, U2, U3.
-Démontrer que pour tout n de N on Un appartenant à [0;4]
-Etudier la monotonie de (Un)
-Démontrer que (Un) est convergente. On désigne par l sa limite
-Utiliser la partie A pour donner la valeur de l



Ce que j'ai fait :

Partie A : En cours sur « c-En déduire les variations de f », mais je ne trouve pas
pour le reste, ok.

Partie B : Je ne trouve pas.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Dans la partie A, tu dois reconnaitre \(f^{,}(x)=\frac{N(x)}{(1+x)^2}\). A partir des réponses,tu dois pouvoir déterminer le signe de cette dérivée sur ]-1; + inf [ et donc déterminer la variation de f.

Partie B : Pour la question 1, sur [0;4],\(ln(1+x)\ge0\) et \(\frac{ln(x+1)}{x+1}<1\) donc... je te laisse finir.
Pour la suite, il faut utiliser ce résultat.

Bonne continuation.

[daniel]

Bonjour,
Merci pour votre aide et BONNES FETES.

[sos-math(20)]

Bonnes fêtes de fin d'année à vous aussi.

A bientôt sur SOS-math