Etude de fonction

[Séb]

Bonjour j'aurais besoin d'aide svp pour mon exercice.
Alors f(x) = x+1+ln(x)
1°) Il faut étudier la limite en + l'infini et en 0
--> Alors en + l'infini, je trouve + l'infini et en 0 je trouve - l'infini.
2°) a) Ensuite il faut étudier les variations de f
b) Montrer que f(x) = 0 admet une solution unique alpha sur ]0;+l'infini[ et que 0,27<alpha<0,28
c) déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x
Je bloque pour la question 2. Est ce que vous pouvez m'aider ?
Merci

[sos-math(22)]

Bonsoir Séb,
Pour les limites, c'est juste.
Pour l'étude des variations, il faut commencer par dériver la fonction et factoriser le résultat obtenu afin de pouvoir étudier son signe.
Pour la question 2)b), il te faudra penser au théorème des valeurs intermédiaires.
Bon courage.

[Séb]

Merci donc : F'(x) = 1 + (1/x)
En factorisant la dérivée j'obtiens : 1 + 1/x = x+1 / x² = x(1 + 1/x )
Mais je ne sais pas si c'est bon

[sos-math(20)]

Bonjour Sébastien,

Votre transformation de f '(x) est fausse (il n'y a pas de x² au dénominateur).
Par contre \(f^{,}(x)=1+\frac{1}{x}\) et vous savez que x est strictement positif; vous pouvez donc en déduire le signe de \(f^{,}(x)\) et ainsi conclure sur les variations de f.

Bon courage.

SOS-math

[Séb]

Merci,
f'(x) est donc positif sur [0;+ l'infini[ et f est strictement croissante sur cet intervalle
C'est bien ça ?

[sos-math(20)]

Bonjour Sébastien,

Votre résultat est correct.

SOS-math

[Séb]

Merci.
Pour la question 2.b je fais x+1+ln(x) = 0
x+ln(x)= -1
Mais je ne suis pas sur, il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

[sos-math(20)]

Bonjour,

On ne sait effectivement pas résoudre l'équation f(x)=0. Il faut donc utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de bijection) appliqué sur l'intervalle \(]0,+\infty[\).

Bon courage.

SOS-math

[Séb]

Merci quand je l'aurais fais j'enverrais ma réponse

[Séb]

Alors je trouve :
f est continue et strictement croissante sur ]0;+l'infini[ et f(x)=0 appartient à ]0;+l'infini[. Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution alpha sur ]0;+l'infini[.

Ensuite pour montrer que c'est entre 0,27 et 0,28 je sais pas comment faire

[sos-math(20)]

Bonjour Sébastien,

C'est très bien de vouloir vérifier toutes vos réponses, mais le forum n'est pas là pour corriger votre travail à la place de votre enseignant. Par ailleurs il vous faut avoir confiance en vous et aussi vous aider des exercices vus en classe ou en devoir, et des exemples qui sont dans votre livre.
Nous ne pouvons pas vous donner tout ou partie de la réponse pour chacune des questions de votre problème, vous devez aussi faire preuve d'initiative personnelle car cela vous sera demandé le jour de l'examen.
La question sur laquelle vous butez est classique et vous devriez pouvoir trouver tout seul la réponse.

Pour le théorème des valeurs intermédiaires, revoyez l'intervalle dans lequel se situe 0 car celui que vous proposez est incorrect.

Bon courage pour la suite de votre travail.

SOS-math

[Séb]

D'accord merci pour votre aide