Problème sur les équations diférentielles
Posté : jeu. 23 déc. 2010 16:46
Bonjour, j'aimerais qu'on m'aide à résoudre mon problème.
1)On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est noté g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+infini[ dans R. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+l'infini[, de l'équation différentielle (E1) y'=y/4.
a)Résoudre l'équation différentielle (E1)
b)Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c'est a dire g(0)=1.
c)Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
2) En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombres des rongeurs, en centaines, vivants au temps t ( exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :
(E2) : {u'(t) = u(t)/4 - u(t)/12 pour tout nombre réel t positif ou nul
{u(0) = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) >0.On considère, sur l'intervalle [0;+infini[, la fonction h définie par h = 1/u. Démonter que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
(E3): {h'(t) = (-1/4)h(t) + 1/12 pour tout nombre réel t positif ou nul,
{h(0)= 1
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
b) Donner les solutions de l'équation différentielle y'=(-1/4)y+1/12 et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
c)Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + l'infini ?
Pouvez vous m'aider car je n'ai pas vraiment compris le chapitre sur les equations différentielles
Merci d'avance.
1)On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est noté g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+infini[ dans R. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+l'infini[, de l'équation différentielle (E1) y'=y/4.
a)Résoudre l'équation différentielle (E1)
b)Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c'est a dire g(0)=1.
c)Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
2) En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombres des rongeurs, en centaines, vivants au temps t ( exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :
(E2) : {u'(t) = u(t)/4 - u(t)/12 pour tout nombre réel t positif ou nul
{u(0) = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) >0.On considère, sur l'intervalle [0;+infini[, la fonction h définie par h = 1/u. Démonter que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
(E3): {h'(t) = (-1/4)h(t) + 1/12 pour tout nombre réel t positif ou nul,
{h(0)= 1
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
b) Donner les solutions de l'équation différentielle y'=(-1/4)y+1/12 et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
c)Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + l'infini ?
Pouvez vous m'aider car je n'ai pas vraiment compris le chapitre sur les equations différentielles
Merci d'avance.