Nombre complexe
Posté : mar. 21 déc. 2010 21:36
Bonjour à tous, j'ai quelques exercices de cours, et j'aurais voulu savoir si mes résultats étaient correcte! :).
1) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants:
- z1 = (4-6i)/(3+2i). J'ai trouvé -2i.
- z2 = (-1+3i)² - 2(4-i). Je trouve -10-4i mais mon professeur m'a dit qu'on devait trouvé -16-4i, mais je ne trouve pas mon erreur...
2) Résoudre l'équation suivante dans C :
z² - 2(1+√2)z + 2(√2 + 2) = 0. Donc on calcul le discriminant soit ∆ = 4, et √∆ = 2. Soit z1 = 2√2 + 2 et z2 = 2√2 - 2 ?
3) Soit l'équation z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = 0. (E)
a) Montrer que cette équation admet une solution réelle pure notée z1. Ici, je sais qu'il faut calculer le discriminant comme dans la question précédente, mais ce z^3 me perturbe et me bloque. Que dois-je en faire?
b) Déterminer les 2 nombres complexes a et b tel que pour tout nombre complexe z, on ait z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b). Pour ceci, dois-je développer, puis passer de l'autre côté afin d'avoir une équation égale à 0 et aisin déterminer a et b? Je bloque aussi...
c) Résoudre alors l'équation (E).
4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin... Pourriez vous m'aider pour celle-ci aussi ?
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).
5) Dans le plan complexe (O, u, v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1,5i, zB = 3,5+i, zC = 1-1,5i.
a) Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC. Je trouve graphiquement les résultats, mais ici on nous demande par calcul, or je ne sais pas trop comment m'y prendre ni quel formule il faut utiliser pour ceci.
b) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer ce point. Quel formule faut-il utiliser?
c) Déterminer l'affixe de M, centre du parallélogramme et placer M. Comment faire également ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Kikou.
1) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants:
- z1 = (4-6i)/(3+2i). J'ai trouvé -2i.
- z2 = (-1+3i)² - 2(4-i). Je trouve -10-4i mais mon professeur m'a dit qu'on devait trouvé -16-4i, mais je ne trouve pas mon erreur...
2) Résoudre l'équation suivante dans C :
z² - 2(1+√2)z + 2(√2 + 2) = 0. Donc on calcul le discriminant soit ∆ = 4, et √∆ = 2. Soit z1 = 2√2 + 2 et z2 = 2√2 - 2 ?
3) Soit l'équation z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = 0. (E)
a) Montrer que cette équation admet une solution réelle pure notée z1. Ici, je sais qu'il faut calculer le discriminant comme dans la question précédente, mais ce z^3 me perturbe et me bloque. Que dois-je en faire?
b) Déterminer les 2 nombres complexes a et b tel que pour tout nombre complexe z, on ait z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b). Pour ceci, dois-je développer, puis passer de l'autre côté afin d'avoir une équation égale à 0 et aisin déterminer a et b? Je bloque aussi...
c) Résoudre alors l'équation (E).
4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin... Pourriez vous m'aider pour celle-ci aussi ?
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).
5) Dans le plan complexe (O, u, v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1,5i, zB = 3,5+i, zC = 1-1,5i.
a) Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC. Je trouve graphiquement les résultats, mais ici on nous demande par calcul, or je ne sais pas trop comment m'y prendre ni quel formule il faut utiliser pour ceci.
b) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer ce point. Quel formule faut-il utiliser?
c) Déterminer l'affixe de M, centre du parallélogramme et placer M. Comment faire également ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Kikou.