Nombre complexe

[Kikou76]

Bonjour à tous, j'ai quelques exercices de cours, et j'aurais voulu savoir si mes résultats étaient correcte! :).

1) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants:
- z1 = (4-6i)/(3+2i). J'ai trouvé -2i.
- z2 = (-1+3i)² - 2(4-i). Je trouve -10-4i mais mon professeur m'a dit qu'on devait trouvé -16-4i, mais je ne trouve pas mon erreur...

2) Résoudre l'équation suivante dans C :
z² - 2(1+√2)z + 2(√2 + 2) = 0. Donc on calcul le discriminant soit ∆ = 4, et √∆ = 2. Soit z1 = 2√2 + 2 et z2 = 2√2 - 2 ?

3) Soit l'équation z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = 0. (E)
a) Montrer que cette équation admet une solution réelle pure notée z1. Ici, je sais qu'il faut calculer le discriminant comme dans la question précédente, mais ce z^3 me perturbe et me bloque. Que dois-je en faire?
b) Déterminer les 2 nombres complexes a et b tel que pour tout nombre complexe z, on ait z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b). Pour ceci, dois-je développer, puis passer de l'autre côté afin d'avoir une équation égale à 0 et aisin déterminer a et b? Je bloque aussi...
c) Résoudre alors l'équation (E).

4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin... Pourriez vous m'aider pour celle-ci aussi ?
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).

5) Dans le plan complexe (O, u, v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1,5i, zB = 3,5+i, zC = 1-1,5i.
a) Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC. Je trouve graphiquement les résultats, mais ici on nous demande par calcul, or je ne sais pas trop comment m'y prendre ni quel formule il faut utiliser pour ceci.
b) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer ce point. Quel formule faut-il utiliser?
c) Déterminer l'affixe de M, centre du parallélogramme et placer M. Comment faire également ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Kikou.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Pour z2, c'est votre professeur qui a raison. Sans vos calculs, il m'est difficile de vous indiquer votre erreur.

Pour la question 3)
Un polynôme de degré 3 n'a pas de discriminant.
Il n'y a pas de technique spéciale mais vous pouvez essayer des nombres simples comme 0, 1, -1 etc..

z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b)

Pour cette question, vous devez développer puis réduire l'expression de droite et en comparant les coefficients des puissances de z dans les deux expressions, en déduire des égalités que doivent vérifier a et b pour que les deux expressions soient égales pour tout z.

Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin

Les calculs sont effectivement assez longs mais sans les voir, il est difficile de vous dire s'ils sont corrects.

Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC

Pour les affixes de vecteurs, il y a une formule qui doit être dans votre cours.
Affixe du vecteur AB = ZB - ZA

ABCD est un parallélogramme donc Les vecteurs ....et ....... sont égaux donc leurs affixes sont égales

Qui dit centre d'un parallélogramme dit milieu de diagonales ..
ET dans votre cours, vous avez la formule du calcul de l'affixe du milieu d'un segment.

Bon courage

[Kikou76]

Bonjour, et merci !
Pour l'exercice 2), avec ∆ = -4 = 4i², on alors √∆ = √4i² = 2i. Je trouve donc comme racine z1 = 2√2 + 2i et z2 = 2√2 - 2i.

Pour la 3)a), je n'ai toujours pas très combien compris, mais dois-je calculer f(-1), f(0), f(1), ... ?
Cela donnerait...
f(-1) = (-1)^3 - (4+i)*(-1)² + (7+i)*(-1) - 4 = -16.
f(0) = -4.
f(1) = 0.
Mais que doit-on en déduire? Je n'ai pas très bien compris.

Pour la 3)b), je développe donc ce qui est à droite, ce qui donne donc:
z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b)
= (z²-2z-2zi-z+2+2i)(az+b)
= (z²-3z-2zi+2i+2)(az+b)
= az^3 - 3az² - 2az²i + 2azi + 2az + bz² - 3bz - 2bzi + 2bi + 2b
= az^3 - (3a-2ai+b)z² + (2ai+2a-3b-2bi)z + (2i+2)b
Donc évidement, a=1. Mais je n'arrive pas à déterminer et trouver b...

Pour la 3)c) donc, je n'ai pas très bien compris la démarche que je devais suivre afin de répondre à cette question.

Pour la 4)a), voici mon calcul, mais je n'arrive pas à terminer. Tout est si confus...
Z = (x+iy-2+i) / (x+iy + 2)
= (x+iy-2+i)(x+iy-2i) / (x+iy+2i)(x+iy-2i)
= (x²+xiy-2xi+xiy+(iy)²-2i²y+xi+i²y-2i²) / (x²+xiy-2xi+xiy+(iy)²-2i²y+2xi+2i²y-4i²)
= (x²+2xiy-xi+(iy)²-i²y+2) / (x²+2xiy+(iy)²+4)
= (-xi - i²y) / 2
= (-xi + y)/ 2
= y/2 - (x/2)i
avec Re(Z) = y/2 et Im(Z) = -(x/2)i.

b) Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Soit... (Je ne sais pas comment m'y prendre...)
De même pour la question c), Z est réel pur si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Soit...

Pour l'exercice 5 ;
a) AB = ZB - ZA = 3.5 - 0.5i.
AC = 1 - 3i
BC = -2.5 - 0.5i (alors que je devrais trouver -2,5 - 2,5i) ==> Voici le calcul. BC = ZC - ZB = 1 - 1.5i - 3.5 + i .....
Pour la b), ZA + ZB = ZC + ZD soit ZD = ZA + ZB - ZC = 2,5 + i ? (Mais graphiquement, ce n'est pas correcte...)
Pour la c), quelle est la formule du calcul de l'affixe du milieu d'un segment ?

Encore merci pour votre aide!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
pour le 2) vos solutions sont fausses.
le discriminant est juste mais je vous rappelle que b = -2(1+√2) et a = 1 donc
\(z_1=\frac{-b-2i}{2a}\)
\(z_1=\frac{2(1+\sqrt2)-2i}{2}\)
vous pouvez simplifier par 2
\(z_1=1+\sqrt2-i\)


Pour le 3) vous avez trouvé f(1)=0 donc la solution réelle de l'équation est 1

= az^3 - (3a-2ai+b)z² + (2ai+2a-3b-2bi)z + (2i+2)b
Donc évidement, a=1. Mais je n'arrive pas à déterminer et trouver b...

Par identification,
vous avez a=1
3a+b-2ai=4+i et 2ai+2a-3b-2bi=7+i
De la première équation vous trouvez b en fonction de a et vous le reportez dans la deuxième équation
A vous de continuer
Pour la c) il faut avoir terminer la b)!

Pour la 4) je vous donne le début car vous avez mal démarré
\(Z = \frac{x+iy-2+i}{(x+iy + 2i}=\frac{x+iy-2+i}{x+i(y + 2)}=\frac{(x+iy-2+i)(x-i(y+2)}{(x+i(y+2))(x-i(y+2)}\)
A vous de continuer