devoir sur les complexes

[Joe]

Bonjour, je m'appelle Joe, et j ai un devoir qui me pose quelques problemes.
Voici l'énoncé:
Dans le plan complexe muni d'un repere orthonorme (0;u;v), d'unite de longueur 2cm, on considere les points A, B, C d'affixes respectives a=-1+i racine (3), b=-1-i racine (3) et c=2.
1) Placer ces points sur un dessein.
2)a) ecrire b-c/a-c sous forme exponentielle
b) en deduire la nature du triangle ABC
c) Determiner le centre et le rayon du cercle T1 circonscrit au trriangle ABC. Tracer le cercle T1
3)a) Etablir que l'ensembe T2 des points M d'affixes z qui verifient 2 (z + z (barre) ) + z x z (barre) = 0 est un cercle de centre omega et d'affixe -2. Preciser son rayon.Construire T2
b) Verifier que les points A et B sont elements de T2
4) on appelle r1 la rotation de centre A et d'angle pi/3
a) quelles sont les images des points A et B par la rotation de r1? Construire l'image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.
b) Determiner l'image du cercle T2 par la rotation r1
5) Soit r une rotation. Pour tout point M d'affixe z, on note M ' l'image de M par r et z' l'affixe de M
On posera: z'= az +b avec a et b des nombres complexes verifiant IaI = 1 et a different de 1
on Suppose que r transforme le cercle T2 en le cercle T1
a) Quelle est l'image du point omega par r ? En deduire une relation entre a et b
b) Determiner en fonction de a l'affixe du point r (C), image du point C par la rotation r; en deduire que le point r (C) appartient un cercle d'affixe que l on definira. Verifier que le cercle passe par C1
6) Un poiunt quelcqonque de N du plan etant donne, comment construit on spn image N' par f? ( on etudiera deux cas, suivant que N appartient ou non à d)
Effectuer une telle construction sur la figure.

Tout d'abord j'ai fait la figure ( donc la question 1), ensuite j'ai developper b-c/a-c ce qui m'a donne que b-c/a-c=(1+i racine(3))/2
Donc que arg = pi/3 et Iz( b-c/a-c)I=1
apres j en est dediut que ABC etait un triangle equilateral (je l'ai quand meme verifie par le calcul).
C'est ensuite que je bloque je ne comprends pas comment il faut faire pour trouver le centre et le rayon du cercle T1. Je pense qu il faut d'abord calculer les 3 milieux des 3 segments du triangle ensuite calculer (2/3) x la longueur d'un sommet avec le milieu d'un segment oppose). Est ce la bonne chose a faire ??
Merci de m'aider.
JOE

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Tu as bien répondu aux questions 2) a) et b).

On a effectivement : \(\frac{b-c}{a-c}=e^{i\frac{\pi}{3}}\).

La rotation de centre C et d'angle \(\frac{\pi}{3}\) transforme A en B ; par conséquent le triangle ABC est équilatéral direct.

Pour le centre et le rayon de T1, c'est très simple, il te suffit de regarder la figure et de vérifier par le calcul.

Les points A, B et c appartiennent au cercle de centre O et de rayon. Vérifie-le en calculant les modules des affixes de ces points.

Bon courage.

[sos-math(22)]

pardon... et de rayon r=2.

[joe]

j ai calculer les modules de [OA], [OB] et [OC] qui sont tous egaux à 2 donc j en conclut que T1 est le cercle de centre O et de rayon 2.
Est ce assez justifier?

[sos-math(22)]

Oui, mais il faut être plus précis dans l'usage des notations.

Par exemple, tu as calculé la longueur \(OA\), c'est-à-dire le module de \(a=-1+i\sqrt{3}\).

Ainsi, \(OA=|a|=|-1+i\sqrt{3}|=2\).

Bon courage pour la suite.

[Joe]

Bonsoir, pour la question 3)a), je ne vois pas ce qu il faut faire pour etablir que c'est un cercle de centre omega et d'affixe -2....
Faut il que je developpe, que je mette z x z(barre) de l'autre cote de l'egalite, .... qu est ce que cela me donnera si je fait sa ?
Merci de m'aider.
Joe

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Pour la question 3), je te conseille d'écrire \(z\) sous forme algébrique \(x+iy\).
En remplaçant ainsi \(z\) par sa forme algébrique dans \(2(z+\bar{z})+z\bar{z}=0\), tu pourras obtenir une équation du cercle \(T_2\).
Bon courage.

[Joe]

Bonsoir, je trouve comme equation au cercle T2 : 4x +x²+y²=0 soit x²+y²= - 4x.
Apres je ne sais pas trop quoi faire mais je vais vous dire ce que je ferai:
-4x etant le rayon du cercle, alors le cercle a pour rayon -2.
Ensuite pour savoir si A et B appartiennent a T2 je metterai leur affixes a la place de z; si ils sont egaux a 0 alors ils appartiennent a T2.
Est ce cela qu il faut faire ?
Joe

[sos-math(22)]

Bonjour,
Oui, tu trouves la bonne équation, mais après, il faut la transformer afin de l'écrire sous la forme :
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\).
Le centre du cercle est le point de coordonnées \((a;b)\) et le rayon est égal à \(R\).
Ainsi, en partant de \(x^2+4x+y^2=0\), commence par écrire \((x+2)^2-4+y^2=0\).
A toi de terminer la question maintenant.
Bon courage.

[Joe]

ok j'ai fait ce que vous m'avez dit de faire et je trouve que T2 a pour rayon 2.
Ensuite j'ai remplacé z par a et z par b pour savoir si A et B appartenaient au cercle T2, je trouve qu'ils sont egaux a 0 donc ils appartiennent a T2.
Pour la question 4)a), pour l'image de A je trouve que c'est A; l'image de B est C; l'image de c est 2+2 i racine (3) et enfin l'image du cercle T2 est le cercle T1 par la rotation r1.
Par contre pour la question 5 je suis de nouveau bloque.
Pouvez vous m'aider pour commencer la question ?
Merci beaucoup,
Joe

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Tous tes résultats sont corrects, c'est bien.

Pour la question 5)a), on suppose que r transforme T2 en T1. Donc, en particulier, l'image du centre de T2 est égale au centre de T1. Ainsi, r(oméga)=O. En remplaçant oméga et O par leurs affixes, on obtient ensuite une relation entre a et b.

Bonne continuation.

[Joe]

Bonjour,

En faite j'avais déjà commencé à répondre à la question 5.a), je vous présente ce que j'ai fait :

On a :
z'(omega)=az(omega) + b
soit z'(omega)=az(-2) + b
soit z'(omega)= -2a + b

or d'après la question précédente la rotation r1 transforme le cercle T2 en cercle T1, on en déduit alors que :
z'(omega) = 0
soit -2a+b=0
soit b=2a

(on a bien la relation entre a et b et l'image de omega par r).

Ensuite j'ai commencé le b) mais je suis pas sur d'avoir bien cerné ce qu'il faut faire, j'ai déjà fait ceci :

On a :
z'(C) = az(C) +b
soit z'(C) = a(-2) + 2a (car b=2a)
soit z'(C) = 0

Ensuite je n'ai pas compris l'histoire du cercle fixe et la fin.

Merci d'avance et bonnes fêtes,

Joe

[sos-math(22)]

Bonsoir Joe,
L'affixe de C est 2 et non -2.
Tu obtiens donc r(2)=2a+b=4a, car b=2a.
Ensuite, comme \(|a|=1\) on obtient \(|r(2)|=4\).
Donc l'image de C par r appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
Bonne continuation.

[Joe]

Bonsoir, j'ai bien prouve que c' appartenait au cercle en calculant oc' qui est egale à 4 comme c'est un cercle de centre 0 et de rayon 4 alors oc' est un rayon de ce cercle.
Par contre je ne vois pas comment faire pour la 6), qu'est ce que d et f ??
Merci de me mettre sur le bon chemin
Joe

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Je me pose la même question que toi et ne vois pas comment f est définie.
Peux-tu bien relire ton texte afin de vérifier que tu n'as rien oublié stp ?
Bonne continuation.