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Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 20 déc. 2010 10:33
par Marie
Bonjour !
Je bloque sur un exercice de math ! :mur:
Je m'excuse d'avance, je ne sais pas utiliser les balises pour écrire de jolies formules !
Bref, voila l'exercice :
On considère le nombre complexe z = 1+ e^(i thêta )
La première question est très facile, il suffit de vérifier que z= e^(i thêta/2) (e^(-i thêta/2) + e^(i thêta/2 )
Il faut ensuite en déduire le module de z, ce que j'ai fait ( je trouve 2 ) mais il faut ensuite trouver l'argument de z, sachant que thêta est compris entre -pi et pi.
Seulement je ne vois pas comment trouver la valeur de thêta...
Merci d'avance !
Bonne journée à tous
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 20 déc. 2010 14:20
par sos-math(20)
Bonjour Marie,
Il vous faut reprendre le calcul de l z l car le module de z n'est pas égal à 2.
Pour la suite, il vous faudra utiliser la formule suivante : \(cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\).
Bon courage.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : jeu. 23 déc. 2010 11:21
par Marie
Merci pour votre réponse.
Mais alors comment fait on pour calculer le module de z, sachant que l'on ne connait pas thêta ?
Car |z|=|1+e^(i thêta)|
Peut on faire
|z| = |1| + |e^(iT)|
Or |1| = 1
et e^(iT) <=> 1( cos T + i sin T) Donc un module de 1.
Soit module de z=1+1=2. A moins que je ne puisse pas additionner comme je l'ai fait ?
Ah non ! On aurait plutôt |z| = racine carrée de 2 ?
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : jeu. 23 déc. 2010 18:48
par sos-math(20)
Bonsoir Marie,
En effet vous ne pouvez pas additionner comme vous l'avez fait.
Il vous faut revenir à la définition du module à savoir : \(lzl=\sqrt{x^2+y^2^}\) lorsque \(z=x+iy\) où x et y sont deux réels.
Bon courage.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : ven. 24 déc. 2010 17:40
par Marie
D'accord. Mais comment fait-on pour calculer le module, sachant qu'on ne connait pas thêta ?
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : ven. 24 déc. 2010 19:19
par sos-math(20)
Bonsoir Marie,
Tout d'abord pensez toujours à saluer et à remercier lorsque vous posez une question sur le forum : cela rend les échanges plus chaleureux.
Pour votre exercice, le module de z dépendra bien de theta.
Bonne soirée.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : sam. 25 déc. 2010 09:37
par Marie
Bonjour.
Merci beaucoup pour votre réponse. Je ne pensais pas qu'il fallait exprimer le module en fonction de thêta !
Joyeux Noël, bonne journée !
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : sam. 25 déc. 2010 10:36
par sos-math(20)
Bonne journée et bon Noël à vous aussi.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 27 déc. 2010 10:18
par Marie
Bonjour,
Je ne vois vraiment pas comment calculer le module.
Quand j'essaye de l'exprimer en fonction de thêta, je trouve que |z|=z, ce qui me paraît peu probable.
Le reste de l'exercice en dépend.
Merci,
Marie
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 27 déc. 2010 17:10
par sos-math(20)
Bonjour Marie,
Vous savez que \(z=1+e^{i\theta}=(1+cos\theta)+isin\theta\).
Il vous reste à appliquer la formule du module que je vous ai rappelée dans un précédent message.
Bon courage.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 27 déc. 2010 17:42
par Marie
Bonjour, et merci pour votre réponse !
Alors, si z = (1+cos T) + i sin T
on a donc |z| = racine carrée de [ (1+cos T)^2 + (sin T )^2 ]
Soit = racine carrée de ( 1+2cos T + cos^2 T + sin^2 T ) ?
Marie.
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : lun. 27 déc. 2010 17:52
par sos-math(20)
Bonsoir Marie,
C'est bien, mais vous pouvez encore simplifier car vous savez que \(cos^2\theta+sin^2\theta=...\).
Bonne continuation.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : mer. 29 déc. 2010 20:39
par Marie
Bonjour, et merci de votre réponse !
Alors, en suivant votre conseil, j'obtiens donc |z| = acine carré de ( 1 + 2cosT ) car en effet, cos^2 T + sin^2 T = 1
je dois maintenant chercher un argument de z.
Vous m'aviez rappelé la formule cos x = ( e^(ix) + e^(-ix) ) /2 mais je ne vois pas comment l'utiliser.
Merci
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : jeu. 30 déc. 2010 11:12
par sos-math(20)
Bonjour Marie,
Il vous faut utiliser le résultat que vous avez établi à la première question.
Par ailleurs, pour votre module, revoyez la fin du calcul car le résultat que vous m'avez donné est incorrect.
Bonne journée.
SOS-math
Re: Algèbre : nombres complexes
Posté : jeu. 30 déc. 2010 19:19
par Marie
Bonjour et merci de votre réponse.
Où me suis- je trompée sur le module ?
Car racine carrée de ( (1+cosT)^2 + (sinT)^2 ) = racine carrée de (1 + 2 cosT + cos^2T + sin^2T )
= racine carrée de (2 + 2 cosT)