Algèbre : nombres complexes

[Marie]

Bonjour !
Je bloque sur un exercice de math ! :mur:

Je m'excuse d'avance, je ne sais pas utiliser les balises pour écrire de jolies formules !
Bref, voila l'exercice :

On considère le nombre complexe z = 1+ e^(i thêta )

La première question est très facile, il suffit de vérifier que z= e^(i thêta/2) (e^(-i thêta/2) + e^(i thêta/2 )

Il faut ensuite en déduire le module de z, ce que j'ai fait ( je trouve 2 ) mais il faut ensuite trouver l'argument de z, sachant que thêta est compris entre -pi et pi.

Seulement je ne vois pas comment trouver la valeur de thêta...

Merci d'avance !
Bonne journée à tous

[sos-math(20)]

Bonjour Marie,

Il vous faut reprendre le calcul de l z l car le module de z n'est pas égal à 2.
Pour la suite, il vous faudra utiliser la formule suivante : \(cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\).

Bon courage.

SOS-math

[Marie]

Merci pour votre réponse.
Mais alors comment fait on pour calculer le module de z, sachant que l'on ne connait pas thêta ?
Car |z|=|1+e^(i thêta)|

Peut on faire
|z| = |1| + |e^(iT)|
Or |1| = 1
et e^(iT) <=> 1( cos T + i sin T) Donc un module de 1.
Soit module de z=1+1=2. A moins que je ne puisse pas additionner comme je l'ai fait ?

Ah non ! On aurait plutôt |z| = racine carrée de 2 ?

[sos-math(20)]

Bonsoir Marie,

En effet vous ne pouvez pas additionner comme vous l'avez fait.
Il vous faut revenir à la définition du module à savoir : \(lzl=\sqrt{x^2+y^2^}\) lorsque \(z=x+iy\) où x et y sont deux réels.

Bon courage.

SOS-math

[Marie]

D'accord. Mais comment fait-on pour calculer le module, sachant qu'on ne connait pas thêta ?

[sos-math(20)]

Bonsoir Marie,

Tout d'abord pensez toujours à saluer et à remercier lorsque vous posez une question sur le forum : cela rend les échanges plus chaleureux.

Pour votre exercice, le module de z dépendra bien de theta.

Bonne soirée.

SOS-math

[Marie]

Bonjour.

Merci beaucoup pour votre réponse. Je ne pensais pas qu'il fallait exprimer le module en fonction de thêta !

Joyeux Noël, bonne journée !

[sos-math(20)]

Bonne journée et bon Noël à vous aussi.

SOS-math

[Marie]

Bonjour,

Je ne vois vraiment pas comment calculer le module.
Quand j'essaye de l'exprimer en fonction de thêta, je trouve que |z|=z, ce qui me paraît peu probable.

Le reste de l'exercice en dépend.

Merci,

Marie

[sos-math(20)]

Bonjour Marie,

Vous savez que \(z=1+e^{i\theta}=(1+cos\theta)+isin\theta\).
Il vous reste à appliquer la formule du module que je vous ai rappelée dans un précédent message.

Bon courage.

SOS-math

[Marie]

Bonjour, et merci pour votre réponse !

Alors, si z = (1+cos T) + i sin T
on a donc |z| = racine carrée de [ (1+cos T)^2 + (sin T )^2 ]
Soit = racine carrée de ( 1+2cos T + cos^2 T + sin^2 T ) ?

Marie.

[sos-math(20)]

Bonsoir Marie,

C'est bien, mais vous pouvez encore simplifier car vous savez que \(cos^2\theta+sin^2\theta=...\).

Bonne continuation.

SOS-math

[Marie]

Bonjour, et merci de votre réponse !
Alors, en suivant votre conseil, j'obtiens donc |z| = acine carré de ( 1 + 2cosT ) car en effet, cos^2 T + sin^2 T = 1

je dois maintenant chercher un argument de z.
Vous m'aviez rappelé la formule cos x = ( e^(ix) + e^(-ix) ) /2 mais je ne vois pas comment l'utiliser.

Merci

[sos-math(20)]

Bonjour Marie,

Il vous faut utiliser le résultat que vous avez établi à la première question.
Par ailleurs, pour votre module, revoyez la fin du calcul car le résultat que vous m'avez donné est incorrect.

Bonne journée.

SOS-math

[Marie]

Bonjour et merci de votre réponse.

Où me suis- je trompée sur le module ?

Car racine carrée de ( (1+cosT)^2 + (sinT)^2 ) = racine carrée de (1 + 2 cosT + cos^2T + sin^2T )
= racine carrée de (2 + 2 cosT)