Exponentielle

[Lila]

Bonjour !

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (3e^(x/4))/(2+e^(x/4))
a) Démontrer que f(x)= 3/(1+2e^(x/4))
b) Etudier les limites de la fonction f en +infini et -infini
c)Etudier les variations de la fonction f.

Pouvez surtout m'aidez pour la premier question car je n'ai pas vraiment compris le sens de cette question
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lila,

Je pense que ton expression " f(x)= 3/(1+2e^(x/4))" est fausse !
Elle doit être f(x)= 3/(1+2e^(-x/4)) ?

SoSMath.

[Lila]

Ah oui désolé je n'ai pas fait attention. Pouvez vous m'aidez pour cette question ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je te propose de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction qui définit f(x) par le nombre e^(-x/4).

sosmaths

[Lila]

Oui ca marche merci beaucoup. Pour la question 2 je ne trouve la limite de 2e^(-x/4) en + et - l'infini. Pouvez vous m'aidez ?

[SoS-Math(4)]

Lorsque x tend vers + infini, X=-x/4 tend vers - infini.

Or la limite de e^(X) lorsque X tend vers - infini est 0

Donc la limite de e^(-x/4) lorsque x tend vers + infini est 0. ( théorème de composition de limite)


Même méthode pour la limite lorsque x tend vers - infini.

sosmaths

[Lila]

D'accord alors pour - l'infini j'hésite si la limite de (-x/4) donc X en - l'infini est + ou - l'infini à cause du -x ?
J'ai calculé la dérivée pour la question 3 et j'ai trouvé (5/4)e^(-x/4)+1 et comme je ne suis pas très sur de moi je voulais savoir si c'était bon
voilà merci d'avance

[SoS-Math(4)]

J'ai l'impression que ta dérivée est fausse.

sosmaths

[Lila]

J'ai l'impression que ta dérivée est fausse.

sosmaths

Comment dériver 2e^(-x/4) ? Je précis que je me serre de la fonction f(x) démontrer dans la question 1 pas celle écrite dans l'énoncé

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

La dérivée de exp( u(x)) est u'(x)exp(u(x)) donc la dérivée de exp(-x/4) est -1/4 exp(-x/4)

D'autre part ton expression s'écrit sous forme d'un quotient avec pour numérateur 3. Tu sais que la dérivée de 1/v(x) est - v'(x)/v²(x)

Donc tu dois utiliser correctement ces formules.

bon courage.

sosmaths

[Lila]

Après de nombreux calculs, j'ai trouvé 3/(8e^(-x/2)+2) comme dérivée est ce que c'est bon ?

[SoS-Math(4)]

Si j'avais le détail des calculs je pourrais trouver les erreurs, car je ne trouve pas la même chose.

sosmath

[Lila]

Donc j'utilise la formule -v'(x)/v^2(x) *=multiplier
=(-(2*-(1/4)e^(-x/4))*3/(2e^(-x/4)+1)^2
=((1/2)e^(-x/4))*3/((2e^(-x/4))^2+2*2e^(-x/4)*1+1)
=((3/2)e^(-x/4))/(4e^(-x/2)+4e^(-x/4)+1)
=(3/2)/(4e^(-x/2)+5)
=(3/2)*(1/4e(-x/2)+5)
=3/8e(-x/2)+10

Je me suis juste trompé à la fin ce n'est 8e^(-x/2)+2 mais 8e^(-x/2)+10. J'espère que ce sera assez compréhensible. Dans la deuxième ligne au dénominateur j'ai utilisé une identité remarquable.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Reprenons les calculs :

=(-(2*-(1/4)e^(-x/4))*3/(2e^(-x/4)+1)^2 Ok
=((1/2)e^(-x/4))*3/((2e^(-x/4))^2+2*2e^(-x/4)*1+1) Pourquoi développer le dénominateur ? Ici, il faut déterminer le signe de la dérivée : tu n'as donc aucun intérêt à modifier un dénominateur dont tu connais le signe ! La simplification du numérateur est suffisante et cela évitera les erreurs de calcul dans la suite !
\(=\frac{\frac{3}{2}e^{\frac{-x}{4}}}{{(2e^{\frac{-x}{4}}+1)}^2\)

Bonne continuation.

[Lila]

Oh d'accord je comprend. Donc du coup le signe de la dérivée sera positif puisque e^x est toujours positif donc le numérateur est positif et le dénominateur aussi donc f(x) est croissante sur R c'est ça ?