fonction logarithme

[Marie, terminale S]

Bonjour,
J'ai un exercie à faire et je n'y arrive pas.
Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur 0; plus l'infini par :
f(0) = 0 et pour x supérieur à 0 f(x) = 2x [2(lnx)² - 3lnx + 2]
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j) tel que i = 4cm et j = 2cm
1)a) Exprimer x(lnx)² en fonction de racine carré de x ln(racine carré de x)
En déduire la limite de x(lnx)² quand x tend vers 0.
Voilà pour le début. Je précise que je ne demande pas que l'on me donne les solutions mais malgré toute ma bonne volonté, je n'arrive pas à débuter. J'aimerais des indications. Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marie,

Tu dois savoir que \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) donc \(ln(\sqrt{x})=\frac{1}{2}ln(x)\) en appliquant la propriété \(ln(a^x)=xln(a)\) avec \(a\geq{0}\) et \(x\) réel. Tu sais aussi que la limite \(xln(x)\) quand \(x\) tend vers 0 est \(0^+\)
Essaie d'utiliser cette égalité et cette limite pour résoudre ton problème.

Bon courage

[marie]

Bonsoir,
pour la question 1)a : exprimer x(lnx)² en fonction de Vx ln(Vx) (je vous informe que V correspond à racine carrée), j'ai trouvé : 4 [Vx lnVx]². Est-ce cela ?
pour la limite de x(lnx)² quand x tend vers 0, j'ai marqué XlnX = 0 quand x tends vers 0.
Par contre, je dois ensuite démontrer que f est continue en 0 et je ne sais pas comment faire.
Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie pour les réponses que j'ai trouvées ? et des indications pour démontrer que f est continue en 0. Merci beaucoup.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Cela me semble OK pour la limite et pour la démarche.

Par définition une fonction est continue en un point \(x_0\) si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite quand \(x\) tend vers \(x_0\) est la même et est égale à \(f(x_0)\). Ici seule la limite à gauche de 0 est à considérer, est-elle égale à \(f(0)\), si oui la fonction est continue.

Bonne continuation

[marie]

Bonjour,
J'ai bien lu vos indications mais je ne comprends toujours pas. Pouvez-vous encore m'aider ?
(j'ai marqué lim f(x) quand x tend vers 0 = 0 et f(0) = 0 donc f est continue en 0. Mais je ne sais pas si c'est cela. Est-ce suffisant pour démontrer ? J'ai du mal à comprendre. Merci encore pour votre patience.

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Oui c'est tout à fait cela, en précisant que c'est une limite par valeur supérieure puisque x est positif et que pour x négatif la fonction n'est pas définie.
Il n'y a rien d'autre à faire. Par exemple si dans l'énoncé on avait posé f(0) = 1(ce qui est absurde) la fonction n'aurait pas été continue, il y aurait eu un saut entre les valeurs proches de 0 et f(0).
Dans le cas de ton pb, il n'y a pas de saut, donc on peut d'une manière continue passer des valeurs proches de 0 à f(0), ce n'est pas très mathématique mais cela donne une image de la continuité.

Bonne continuation

[marie]

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos expkications. Bonne soiree

[marie]

Bonjour,
Je ne sais pas faire la fin de mon exercice. J'aimerais que vous me disiez si ce que j'ai fait semble pour l'instant correct.
Rappel : soit f la fonction définie sur [0;plus l'infini] par f(0) = 0 et pour x supérieur à 0 f(x) = 2x [2(lnx)² - 3lnx + 2].
Pour tout réel k, on note Dk la droite d'équation y = kx
a) Conjecturer le nombre de points d'intersection de Dk avec Cf.
b) Démontrer les conjectures précédentes.

a) ma réponse : c'est une fonction affine y = kx donc passe par l'origine. est-ce suffisant ?

b) j'ai marqué : 2x[2(lnx)² -3lnx +2] = kx donc x [2(lnx)² - 3lnx + 2 - k] = 0
pour que ce soit nul, soit x = 0
soit 2(lnx)² -3lnx + 2-k=0 ; là je pense calculer le discriminant. Est-ce cela ?
Voilà ce que j'ai fait pour l'instant. Mais je ne suis pas certaine d'être sur la bonne voie. Merci beaucoup de m'aider pour que j'arrive à résoudre entièrement mon exercice.

[sos-math(20)]

Bonsoir Marie,

Pour la question a), votre réponse est incomplète : en effet l'origine du repère est toujours un point d'intersection mais il peut y en avoir d'autres. Essayez de représenter graphiquement la fonction f puis tracez différentes droites passant par l'origine pour avoir une idée des différents résultats possibles.

Pour la question b), votre équation est bien posée et il faudra en effet calculer un discriminant et discuter suivant les valeurs de k pour le signe de ce discriminant.

Bon courage.

SOS-math

[marie]

Bonjour,
J'ai suivi vos indications pour mon problème. J'ai réussi à faire la question b) mais pour la question a) : conjecturer le nombre de points d'intersection de Dk avec Cf, j'ai tracé la courbe, j'ai remarqué que je peux avoir de un à trois points d'intersection selon les valeurs de k mais comment faut-il que j'explique cela ? Avec tous mes remerciements pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter.

[sos-math(20)]

Bonjour Marie,

On vous demande de "conjecturer" c'est à dire d'émettre une hypothèse.
Ici il n'y a rien à démontrer mais vous pouvez faire une figure où vous présenterez tous les cas possibles.
Bonne soirée.

SOS-math