etude de fonction

[Mélanie]

Bonjour,
j'ai un exo à faire mais je rencontre quelques difficultés.
Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = (x^(1/3) / (x^(3/4))
1) Ecrire f(x) sous la forme x^a avec a dans R.
2) Etudier la fonction f sur son ensemble de définition.

Pour la première question je me demandais ai-je le droit de faire :
f(x) = x(1/3-3/4) = x ^(-5/12). Y a t il une propriété pour cela? (on a vu comme propriété : e^(xlna) = a^x)
Sinon pour la deuxième je dois déterminer les limites et la dérivée pour étudier la fonction, non?
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Mélanie,

Question 1 : La propriété que tu donnes est juste .... mais si tu ne l'a pas vu en classe il faut la démontrer en utilisant la définition (e^(xlna) = a^x)
Question 2 : La réponse à ta question est oui !

Bon courage,
SoSMath.

[Mélanie]

Oui pour la question 1 je pensais aussi à cela mais je n'y arrive pas.
Je trouve :
f(x) = (x^(1/3)) / (x^(3/4)) = (e^(lnx/3)) /(e^(3lnx/4)) = (1/3) ln x - (3/4) lnx
Je pense mettre trompé mais je ne trouve pas mon erreur après plusieurs vérifications
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Mélanie,

tu as oublié l'exponentielle ...

f(x) = (x^(1/3)) / (x^(3/4)) = (e^(lnx/3)) /(e^(3lnx/4)) = e^[(1/3) ln x - (3/4) lnx] = e^[(1/3-3/4)lnx] = ...

SoSMath.

[Mélanie]

Merci bien. Concernant le signe de la dérivée pas de problème mais je bloque sur les limites.

[SoS-Math(9)]

Mélanie,

Il s'agit d'utiliser la composition des limites ...
Rappel : si \(\lim_{x \to a}u(x)=L\) et \(\lim_{x \to L}e^{x}=A\) alors par composition \(\lim_{x \to a}e^{u(x)}=A\).

SoSMath.

[Mélanie]

Très bien
donc lim (en + l'infini) f(x) = 0 car lim (en +oo)(lnx (-5/12) = - oo et lim (en - l'infini) e^y = 0
lim (en 0+) = +oo car lim (lnx (-5/12)) = +oo et lim (en +oo) e^y = +oo
Est-ce correcte?
Merci et bonne soirée.

[SoS-Math(9)]

C'est très bien Mélanie.

SoSMath.