limites et suites
Posté : jeu. 9 déc. 2010 15:30
Bonjour,
J'aimerais aider ma fille concernant l'exercice suivant, malheureusement, je n'avance pas significativement !!!
Merci de m'aider.
Limites et suites
A- On considère la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par :
f(x)=x/(exp(x)-1)
La fonction exponentielle étant l'unique fonction dérivable sur R vérifiant :
g'(x)=g(x) pour tout x appartenant à R
g(0)=1
1-Démontrez que lim h tendant vers 0 de (exp(h)-1)/h=1
2-Déterminez la lim de la fonction f en 0 et en + infini
B- Soit Un la suite définie pour n entier sup ou égal à 1 par :
Un=[1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n]
1-Démontrez que 1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n=(1-e)/(1-e^1/n)
En déduire que Un=(e-1)f(1/n)
2- En déduire en utilisant A que Un converge vers e-1.
Où j'en suis :
A :
1- f(x)=f '(x)=exp(x)
f(0)=f '(0)=exp(0)=1
f '(0)=lim x tendant vers 0 = ( f(x)-f(0))/(x-0)=(exp(x)-1)/x
Mais : f(0)=f '(0)=1......?????
2- x tendant vers 0 :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)=0*(1/1-1)=0*1/inf=0.....????
x tendant vers inf :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)
Lim x tendant vers inf de x*1/(exp(x)-1)=inf*(1/inf-1)=0.....????
B :
Dans Un, je pensais mettre racine nième de e en facteur, mais je n'aboutis à rien !!,
cela donne :
(racine nième de e)/n(e^0+e^1+e^2+.....+e^(n-1))
J'aimerais aider ma fille concernant l'exercice suivant, malheureusement, je n'avance pas significativement !!!
Merci de m'aider.
Limites et suites
A- On considère la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par :
f(x)=x/(exp(x)-1)
La fonction exponentielle étant l'unique fonction dérivable sur R vérifiant :
g'(x)=g(x) pour tout x appartenant à R
g(0)=1
1-Démontrez que lim h tendant vers 0 de (exp(h)-1)/h=1
2-Déterminez la lim de la fonction f en 0 et en + infini
B- Soit Un la suite définie pour n entier sup ou égal à 1 par :
Un=[1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n]
1-Démontrez que 1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n=(1-e)/(1-e^1/n)
En déduire que Un=(e-1)f(1/n)
2- En déduire en utilisant A que Un converge vers e-1.
Où j'en suis :
A :
1- f(x)=f '(x)=exp(x)
f(0)=f '(0)=exp(0)=1
f '(0)=lim x tendant vers 0 = ( f(x)-f(0))/(x-0)=(exp(x)-1)/x
Mais : f(0)=f '(0)=1......?????
2- x tendant vers 0 :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)=0*(1/1-1)=0*1/inf=0.....????
x tendant vers inf :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)
Lim x tendant vers inf de x*1/(exp(x)-1)=inf*(1/inf-1)=0.....????
B :
Dans Un, je pensais mettre racine nième de e en facteur, mais je n'aboutis à rien !!,
cela donne :
(racine nième de e)/n(e^0+e^1+e^2+.....+e^(n-1))