exercice sur exponentielle

[Martin]

Soit la fonction f(x)=xe^(1/x) définie sur r-{0}
1)
a)Déterminer la limite de f(x) en +infini et en -infini
b)Vérifier que f(x)-x=[(e^(1/x))-1]/(1/x).En déduire la limite de (f(x)-x) en +infini et -infini
Aide:on posera X=(1/x)
c)En déduire que la droite D d'équation y=x+1 est asymptote oblique en +infini et en -infini
2)Déterminer la limite de f(x) en 0+ et 0-.que peut-on en déduire?
Aide:on écrira que f(x)=(e^(1/x))/(1/x) et on posera X=1/x
3)Démontrer que f '(x)=[(x-1)/x]*e^(1/x).En déduire les variations de f.
4)Tracer D et C

Bonjour,

1)a)J'ai trouvé que la limite en +infini de f(x)=+inf et que la limite en -infini de f(x)=-infini

b) f(x)-x=[xe^(1/x)]-x=x(e^(1/x)-1)=e^(1/x)-1)/(1/x) ==>J'ai divisé en haut et en bas par -x
Mais je n'arrive pas a trouver la limite de f(x)-x en + et - infini

Pouvez vous m'aider svp?

[sos-math(12)]

Bonjour :

Tout d'abord prenez l'habitude de commencer vos messages par bonjour.
Pour la deuxième question : essayez de penser à un changement de variable et ensuite au nombre dérivé.

Bonne continuation.

[Martin]

Bonjour,
donc pour la question 2 je fait :
X=1/x

limite en +infini:
lim e^X=+inf

lim X=+inf

infini/infini= Forme indéterminé

donc je fait:
e^(X)-1/X = e^(X)-1*(X) = Xe^(X)-1

et ensuite je calcule la limite,c sa?

[sos-math(12)]

Bonjour :

on obtient effectivement après le changement de variable \(t=\frac{1}{x}\) l'expression : \(\frac{e^{t}-1}{t}\).
Mais tu vas beaucoup trop vite ensuite dans ta démarche.
Lorsque x tend vers \(+\infty\) ; t tend vers 0.
Pour lever l'indétermination obtenue, il faut utiliser le nombre dérivé.

Bonne continuation.

[Martin]

Bonjour,

Donc ensuite si je fait la dérivé:
f(x)=(e^(X)-1)/X

avec:U=(e^(X)-1) ; U'=e^(X)
V=X ; V'= ?

Comment trouver la dérivé de X ?

[sos-math(12)]

Bonsoir :

Je n'ai pas parlé de dérivée mais de nombre dérivé d'une fonction.
C'est une méthode pour, dans certains cas, lever une indétermination de la forme "\(\frac{0}{0}\)"
Mais il semble que vous n'en ayez encore pas parlé, donc je ne vois pas vraiment comment vous aider sans vous donner la solution.
Juste une indication : si une fonction f est dérivable en 0 alors \(f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\).

Bonne continuation