SOS-MATH

Bonsoir, j'ai ce TD à préparer mais je n'arrive pas à faire la fin. Vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?

g est la fonction définie sur [0:+00[ par g(0)=0 et pour tout réel x strictement positif par g(x)=\(\frac{x}{x- lnx}\).

La partie 1 porte sur l'étude de la fonction g et comporte toute une série de question dont j'ai trouvé les réponses. J'ai ainsi montré que : g est bien définie sur [0:+00[ ,que lim g(x)=0 quand x tend vers 0+, que g est dérivable en 0 avec le taux d'accroissement, que y=1 est asymptote à la courbe et j'ai étudié les variations de g.

Mais pour la partie 2 qui s'appelle "Étude d'une suite" je n'arrive à rien :
a est un réel donné de l'intervalle [1; +00[.
On note (Un) la suite définie par Un=1+\(\frac{ln a}{a}\) +( \(\frac{ln a}{a}\))² +...+ ( \(\frac{ln a}{a}\))^n
1.Démontrer que Un est la somme des termes d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2.a)En utilisant les résultats de la partie 1, démontrer que 0\(\leq\)\(\frac{ln a}{a}\)\(\leq\)\(\frac{1}{e}\).
b)Déduisez en que la suite (Un) est convergente est que lim Un =g(a) quand n tend vers +00.

Je n'arrive à rien faire pour la fin, j'aimerai beaucoup qu'on aide. Merci d'avance.

Bonsoir,
les termes sont de la forme \(q^n\), avec \(q=\frac{\ln\,a}{a}\), donc ta suite est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison \(q=\frac{\ln\,a}{a}\) avec le premier terme qui vaut 1.
par ailleurs tu sais que la somme des \(n\) premiers termes d'une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\) est donnée par la formule :
\(U_n=u_0+u_0\times\,q+u_0\times\,q^2+....+u_0\times\,q^n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Pour la question 2)a, tu as dû trouver un encadrement de g ce qui te permet trouver l'encadrement de \(\frac{\ln\,a}{a}\)
Ensuite, cela te permet de dire que \(\frac{\ln\,a}{a}<1\), donc le terme \(\left(\frac{\ln\,a}{a}\right)^n\) qu'il y a dans \(U_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) tend vers 0 quand \(n\to+\infty\),
donc en passant à la limite, on retombe sur g(a).