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[Aurore]

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider?

on considere la fonction numérique f définie par f'x)=x²*(e^(x-1)) - x²/2 rem: e à la puissance de x-1
a l' aide de la calculatrice représenter la courbe re presentative de f.
A) A l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :
1) le sens de variation de f sur [ -3;2]
2) la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

donc pour la 1: x -3 0 2
f'(x) + +
f(x) fleche qui monte fleche qui monte

est ce que c'est sa???

et pour la 2 je sais pas vraiment je dirais qu'il y aurait une tangente horizontale en x=0
mais je suis pas sur??? et si c'est sa comment je pourrais l'ecrire sur ma copie ? pouvez-vous m'aider?

B) controle de la première conjecture
1) 1) calculer f'(x) pour tout x réel, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est définie sur R par
g (x)=(x+2)*(e^x-1) -1.


f est dérivable sur R et f'(x)= 2x(e^x-1)+x²(1e^x-1) -x
Je dirais que f '(x)= xg(x)

2) Etude du signe de g(x) pour x réel
a)déterminer les limites de g(x) en + et - infini

lim g(x)= lim (x+2)*(e^x-1) -1 = + infini
x-->+infini

lim (x+2)*(e^x-1) -1 = -1 car lim xe^x=0 et lim e^1=e^1 donc lim xe^x * e^1=0
x--> - infini x-->-infini
lim x-1 = - infini et lim e^X =0 donc lim 2e^x-1=0
x-->-infini X-->-infini
donc lim (x+2)*(e^x-1) -1 = -1
x--> -infini
est sa???


2) calculer g'(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.
g est dérivable sur R et g'(x)=e^x-1*(x+3)

e^(x-1)=0
s= ensemble vide car e^(x-1)>0 pour x APPARTIENT à R

x+3=0
x=-3

x - INFINI -3 +INFINI
e^x-1 + +
x+3 - 0 +
e^x-1*(x+3) - 0 +

c) en deduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
SI MON TABLEAU EST CORRECT JE SAIS COMMENT FAIRE.

d) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution dans R . On note alpha cette solution. Montrer que 0,20<alpha<0,21

Pour cette question je n'ai pas de problème

e) Déterminer le signe de g(s) suivant les valeur de x
Sur ]-INFINI;ALPHA[ g(x)<0
Sur ]ALPHA ;+NFINI[ g(x)>0
est sa??
3) Sens de variation de f sur R

a) Etudier , suivanbt les valeurs de x , le signe de f ' (x)

D'apres1) f'(x)= xg(x)
je sais pas quel prendre comme valeur de x pour g(x) il faut que je m'aide de la question e) précedente et pour x la solution est o je sais pas comment faire mon tableau de signe

b) En déduire le sens de variation de la fonction f .

c) Que pensez-vous de votre première conjecture.

Partie C: Controle de la deuxième conjecture

Soit (C) la courbe représentant la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonam (O, i , j)

1) Montrer que f(alpha) = - alpha^3 /(2(alpha+2))
rappel: g(alpha)=0
et que grace à sa on trouve e^(alpha -1) = 1/(alpha +2)
ici je coinçe complétement je sais pas comment faire

2) On considère la fonction h définie sur [0;1] par h(x)= -x^3/(2(x+2))

a) Déterminer le sens de variation de h.
De l'encadrement de alpha trouvé à la partie A déduire un encadrement de f(alpha)
je bloque pour l'encadrement!!


que pensez-vous de votre deuxième conjecture?

3) Montrer que la courbe (C) coupel'axe des abscisse en 0 et en un autre point d'abscisse B. Donner un encadrement de B d'amplitude 10^-2


Merci d'avance!!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurore,

Question A 1) : Peux-tu faire une phrase ? je ne comprends pas ce que tu as écrit !
(Par exemple : la fonction est croissante sur l'intervalle [a;b])

A2) On te demande si la courbe est au dessous ou au dessous de l'axe des abscisses ! NB : cela revient à donner le signe de f(x) !

Pour le B 1), 2) cela semble juste.

Por le 3a), pour avoir le signe de f '(x) il faut faire un tableau de signe avec le signe de g(x) (trouvée à la question précédente) et celui de x ...

Partie C:
g(alpha) = 0 va te permettre d'exprimer e^(alpha-1) en fonction de alpha. Alors dans ton expréssion de f(alpha), tu vas pouvoir remplacer e^(alpha-1) par l'expression trouvée.

Bon courage,
SoSMath.

[aurore]

pour A 1) f est croissante sur [-3 ; 2]

pour A2) sur [-3;0] f(x) <0
sur [0;2] f(x)>0
est ce que c'est sa pour la partieA??

pour la 3a) x -3 0 2
x i - 0 +
g(x) 0 - i +
f'(x) 0 + 0 +
est ce que c'est bon??
ou j'avais penser à faire plutot celui la: x -3 0 alpha 2
x i + 0 - i +
g(x) 0 + i - 0 +
f'(x) 0 + 0 + 0 +
mais je pense que c'est le premier tableau le corre ct mais j'ai un petit doute il faute que je mette alpha dans mon tableau??

pour la 3)b sur [-3;2] f(x)>0 donc f est croissante sur [-3;2]

pour la 3)c ma premiere conjecture est juste . c'est sa qui faut dire???

merci d'avance!!

[SoS-Math(9)]

Aurore,

Pour la partie A cela semble juste.

Pour le B 3a), dans ton tableau tu as oublié une avec le signe du facteur x ....
x | -3 0 alpha 2
g(x) | ....
x | ....
f '(x)|....

Pour la question 3c) tu seras ce qu'il faut répondre quand tu auras fait la question 3a) !

SoSMath.

[Aurore]

3)a)x | -3 0 alpha 2
g(x) | - - 0 +
x | - 0 + +
f'(x) + 0 - 0 +


b) sur [-3;0] u [alpha;2] f'(x) >0 donc f est croissante sur [-3;0] u [alpha;2]
sur [0;alpha] f'(x)<0 donc f est décroissante sur [0;alpha]


c) alors si c'est bon mon raisonement ma conjecture est fausse.
est ce que c'est sa et je dois l'ecrire comme sa sur ma feuille???

merci d'avance!!

[SoS-Math(9)]

Aurore,

En effet ta conjecture était fausse !
C'était un exercice pour te mettre en garde contre les observations faites sur une calculatrice ...
Ces observations restent des conjectures qu'il faut démontrer !

SoSMath.

[aurore]

bonjour,
je coince un peu pour la question 3 dans la partie C???
pouvez-vous me donner un piste , svp???

merci d'avance??

[aurore]

bonjour,
2)a) partie C:
sens de variation de h: -x^3<0 pour x E [0;1]
2(x+2)>0 pour xE [0.1] DONC h(x) est strictement décroissante sur [0;1]

0,20 < alpha < 0,21
h(0,21) < h(alpha) < h(0,20) (car h est strictement décroissante)
-0,21³/4,42 < -alpha³/[2(alpha+2)] < -0,20³/4,40
-0,0021 < f(alpha) < -0,0018

donc ma deuxieme conjecture est aussi fausse.
est ce que s'est sa ???
merci d'avance!!

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il me semble qu'il y ait des erreurs dans l'étude de ta fonction : tu étudies le signe de ta fonction et tu en déduis le sens de variation ! il s'agit là d'une confusion entre fonction et dérivée.
Dérives ta fonction h, tu dois trouver \(h^{,}(x)=\frac{-x^2(x+3)}{(x+2)^2}\)
Etudie son signe et déduis en son sens de variation (tu retrouves effectivement que h est décroissante sur [0,1] (on dit h décroissante, pas h(x) )
En effet, \(h(\alpha)=f(\alpha)\) doit valoir environ -0,002036..., donc à toi d'en tirer des conclusions en rapport avec tes observations faites (je n'ai pas fait tout le problème).
Au niveau de l'interprétation graphique, je pense qu'il faut dire que ta courbe coupe l'axe de abscisse une première fois en montant en 0, puis redescend et recoupe l'axe en un deuxième point (d'abscisse 1-ln(2)). A toi de voir cela bien que je ne sois pas sûr de ce qu'il faut faire car je n'ai pas fait tout le problème donc je ne suis pas imprégné de la démarche.

[aurore]

pour la 3

f(x) = x².e^x-1 - (x²/2) = x².[e^x-1 - (1/2)]

f(x) = 0 x².[ex-1 - (1/2)] = 0
x² = 0 ou e^x-1 - (1/2) = 0
x = 0 ou e^x-1 = 1/2
x = 0 ou x-1 = ln(1/2)
x = 0 ou x-1 = -ln(2)
x = 0 ou x = 1-ln(2)

Donc : xB = 1-ln(2)
est ce que c'est sa?? EST CE QUE JE DOIS CALCULER F(0)??
merci d'avance!!

[Aurore]

partie c
3)f(x) = 0 donc x².[e^x-1 - (1/2)] = 0
x² = 0 ou e^x-1 - (1/2) = 0
x = 0 ou e^x-1 = 1/2
x = 0 ou x-1 = ln(1/2)
x = 0 ou x-1 = -ln(2)
x = 0 ou x = 1-ln(2)

Donc : xB = 1-ln(2)
je suis pas sur car je n'ai jamais etudier avec ln ?? y-a t- il pas une autre méthode???
puis je coince pour l'encadrement???
pouvez-vous m'aider, c'est trres urgent!!
merci d'avance!!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurore,

Ce que tu as fait est correct !
Cependant si tu n'as pas encore étudier le "ln" tu ne paux pas l'utiliser !
D'ailleurs dans ton énoncé on te demande une valeur approchée ...
Tu as montré qu'elle existe et qu'elle est solution de e^(x-1) = 1/2.
Ensuite avec ta calculatrice (table de valeurs d'une fonction ou par lecture sur le graphique) tu obtiens une valeur approchée.

SoSMath.