SOS-MATH

Bonjour, j'ai un devoir de math ou quelques questions me posent probleme.
Voici l'enoncé:
1) Soit P(z) = z^3 - 4 ( (racine 3) -2i) z^2 + 16 (1 - 2 i racine 3)z + 128 i
a) Calculez P ( -8i) En déduire la resolution de P(z) = 0 dans l'ensemble des complexes.
On note a la racine dont la partie réelle est nulle, b et c celles dont les partries réelles sont nulles, avec la partie immaginaire ce c qui est positive.
b) Ecrire a,b et c sous forme complexe
Dans le plan muni d'un repère orthonorme ( 0; u;v) on considere les points A,B et C d'affixes respectives a,b et c.
2)a) Faire une figure et placer les points A,B et C.
b) Montrer que 0BC est un triangle equilateral.
3) Soit D l'image de A par la rotation de centre 0 et d'angle 2 pi/3.
a) Placer le point D. Calculer son affixe d.
b) Montrer que D est l'image du point C par homothétie de centre 0 dont on determinera le rapport.
4) Montrer que 0bd est un triangle rectangle.

J'ai fait la question 1)a), je trouve
za= -8i
zb= 2(racine3)-2i
zc= 2(racine3)+2i
Apres je ne sais pas comment faire pour ecrire a,b et c sous forme exponentielle.
Merci de me repondre.
Charles

Bonsoir,

l'énoncé précise "sous forme complexe"... pas sous forme exponentielle.
Mais comme cela n'a pas grand sens, je vais supposer qu'il s'agit d'une erreur de copie de ta part.

Tu dois déterminer le module de chaque nombre, à l'aide d'une formule vue en cours.
Puis, en factorisant par le module, il te reste un complexe de module 1, c'est à dire, sous forme trigonométrique, un complexe de la forme cos(t)+i*sin(t).
Il ne reste qu'à identifier l'angle t répondant aux critères.
En général, il s'agit d'un angle connu : 0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2 ou de leurs acolytes situés dans les autres quadrants. (obtenus en ajoutant ou retranchant des pi/2)
Parfois ça ne tombe pas juste.

Bon courage.

excusez moi mais c moi qui me suis trompé en copiant l'enonce et c'est bien sous forme exponentielle que l'on me demande de réecrire a,b et c .....

Bonsoir, j'ai calculé les formes trigonométriques de a, b et c.
Je trouve pour za= 8 ( cos (- pi/2) + i sin (-pi/2)
zb= 4 ( cos (- pi/6) + i sin (-pi/6)
zc= 4 ( cos (pi/6) + i sin (pi/6)
Est ce bon et si oui comment faire pour mettre ces résultats sous forme exponentielle ?
PS: je me suis trompé en recopiant l'énoncé ce n'est pas forme complexe comme je l'ai ecrit mais forme exponentielle.
Merci beaucoup.
Charles

Bonjour Charles,
Vous avez raison et on a donc,
\(z_a=8e^{-i\frac{\pi}{2}}\)
\(z_b=4e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
\(z_c=4e^{i\frac{\pi}{6}}\)
A bientôt.

Bonsoir,
Merci beaucoup pour m'avoir aidé au paravant mais je bloque encore sur une question.
C'est la question 3) Comment peut on faire pour calculer son affixe ?
Merci,
Charles

Bonjour Charles,
Soit a un nombre réel fixé, f l'application qui à tout point M d'affixe \(z\) associe le point M' d'affixe \(z^{\prime}\) tel que \(z^{\prime}=ze^{ia}\) est la rotation de centre O l'origine du repère et d'angle a.
A bientôt.

bonjour, je ne comprends pas trop mais j'ai trouvé:
Z' = -8i e(-iPi/2)
Est-ce cela si oui comment faire ensuite ?
Merci
Charles

Bonjour,
on a dû te dire que la rotation de centre O et d'angle \(\frac{2\pi}{3}\) a pour effet de multiplier les affixes par \(e^{\frac{2i\pi}{3}}\).
Donc si \(a=8e^{-\frac{i\pi}{2}}\), alors \(d=f(a)=8e^{-\frac{i\pi}{2}}\times\,e^{\frac{2i\pi}{3}}=8e^{i(\frac{-\pi}{2}+\frac{2\pi}{3})}\), je te laisse terminer le calcul, en tout cas on ne retrouve pas ton calcul.