devoir sur les compplexes

[Andre]

Bonjour,
J'ai un devoir sur les complexes qui me pose beaucoup de probleme.
Voici l'énoncé: Soit P(z) = z^5 -1 quelque soit z appartenant à l'ensemble des complexes.
1)a) Factoriser le polynomes P comme le produit d'un polynome du premier degre par un polynome du quatrieme degre que l'on determinera.
b) Demontrer que : P(z)=0 equivaut à z=1 ou (z+(1/z))^2 + (z+(1/z))-1 =0 .
c) En deduire les valeurs exactes des cinq racines complexes, sous forme algébrique de l'equation P(z) = 0 .
2)a) Grace à la formule de Moivre ou à l'écriture exponentielle, déterminer le module et l'argument de cinq racines complexes de l'equation P(z) = 0 .
b) En deduire les valeurs exactes de cos 2pi/5 et sin 2pi/5.

Pour la premiere question, j'ai calcule P(1) = 0
Donc qu'il existe un polynome Q du quatrieme degre tel que: P(z) = (z-1) Q(z) quelque soit z appartenant à l'ensembke des complexes. Ensuite je ne vois vraiment pas comment on peut trouver Q ....
Merci de me repondre
Andre

[sos-math(22)]

Bonjour André,

Pour déterminer les coefficients de \(Q(z)\) tu peux poser :

\(Q(z)=a z^4+b z^3+c z^2+d z+e\)

Puis développer et ordonner \((z-1)Q(z)\).

Enfin, identifier les coefficients du polynôme obtenu avec \(z^5-1\).

Bon courage.

[andre]

d'accord, j'ai trouve :
a=1
b=1
c=1
d=1
e=1
est ce excat ?

[sos-math(22)]

Oui, c'est bien.

[andre]

Donc on trouve P(z) = (z-1) (z^4+z^3+z^2+z+1) quelque soit z appartenant à l'ensemble complexes.
Mais apres je ne vois pas ce qu'il faut faire ....

[sos-math(22)]

Pour tout \(z\) non nul on a :

\(z^4+z^3+z^2+z+1=z^2(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2})\)

Ensuite ?

[andre]

donc on a P(z) = o equivaut à : z=1 ou z^4+z^3+z^2+^z+1=0
z=1 ou z^2(z^2+z+1+(1/z)+(1/z^2)=0 avec z different de 0
z=1 ou z^2 +z+1+(1/z)+(1/z^2)=0
z=1 ou (z+(1/z))^2 + (z+(1/z))-1 = 0
car (z+(1/z))^2 + +(z+(1/z)) - 1 = z^2 +2 + 1/z^2 +z +1/z -1 = z^2 +z + 1+ 1/z + 1/z^2
Est-ce correctement justifié ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour André.
C'est correct !

Bonne continuation,
SoSMath.

[andre]

pour la question c) qui est de deduire les cinq racines je ne comprends pas. Voila ce que j'ai fait :
P(z)=0 equivaut à : z=1 ou (z+(1/z))^2 + (z+1/z))-1=0.
Soit le trinome (z+1/z))^2 + (z+1/z)) - 1
Delta = b^2 - 4ac
Delta= (z+1/z))^2 - 4 x (z+1/z)) x (-1)
delta= z^2 + 2 + 1/z^2+ 4z + 4/z
Est-ce juste et si oui que dois-je faire après?
Merci de me repondre
André

[sos-math(22)]

Bonsoir André,

Il te faut faire un changement de variable.

Tu vas poser : \(Z=z+\frac{1}{z}\).

Ainsi tu vas être amené à résoudre l'équation du second degré :

\(Z^2+Z-1=0\)

Ensuite, il te faudra revenir à z.

Bon courage.

[andre]

bonsoir,
j'ai fait le changement de variable comme vous me l'avez dit mais je ne comprends pas comment faire pour revenir a z.
Je vous montre ce que j'ai fait:
P(z) = 0 equivaut à z=1 ou (z+(1/z))^2 + (z+1/z))-1=0 avec z different de 0.
On pose Z = z + 1/z
Soit le trinome Z^2 + Z - 1
Delta= 5
delta superieur à 0, donc il y a deux racines
Z= (-1 + racine de 5)/2 ou Z = (-1 - racine de 5)/2
Apres je bloque
Merci de m'aider
André

[SoS-Math(9)]

André,

tu as trouvé deux valeurs pour Z : je les notes a et b.
Or Z = z+1/z donc z+1/z = a et z+1/z = b.
Il faut mainrenant résoudre ces deux équations !

Bon courage,
SoSMath.

[andre]

Bonsoir,
Je pense que je commennce à comprendre. Voici ce que j'ai fait:
Or z + 1/z = Z,
Donc z + 1/z = (-1+ racine 5)/2 et z+ 1/z = (-1+ racine 5)/2
Soit z = (-1 + racine 5)/2 - 1/z et z= (-1- racine 5)/2 - 1/z
Soit z= (z - z racine 5 -2)/2z et z= (z + z racine 5 - 2)/2z
Soit 2z^2= z - z racine 5 - 2 et 2z^2= z + z racine 5 - 2
Soit z = - (racine(z-z racine 5 -2 ))/2 ou z= (racine( z-z racine 5 - 2))/2 et z = -(racine(z + z racine 5 - 2))/2 ou z= (racine ( z + z racine 5 -2))/ 2
Donc l'ensemble des solutions algébriques sont:
S={ -(racine( z - z racine 5 -2))/2 ; (racine ( z - z racine 5 -2 ))/2 ; 1 ; (racine ( z + z racine 5 -2))/2 ; -(racine(z + z racine 5 -2))/2}
Est-ce le bon résultat ?
MErci et bonne soirée
André

[SoS-Math(9)]

André,

tu n'as pas trouvé z ! z + 1/z = a équivaut à résoudre une équation du 2nd degré ! (z²-az+1=0).

SoSMath.

[andre]

ok je trouve 5 racines complexes qui sont :
z=(1-racine 5) + (i racine ( 1+ racine 5))/2
z=(1-racine 5) - (i racine ( 1 + racine 5))/2
z=(1+ racine 5) + (i racine ( 5 - racine 5))/2
z=(1+racine 5) - (i racine ( 5 - racine 5))/2
z=1
Est-ce exact ?
Merci de me repondre