Pgcd
Posté : dim. 21 nov. 2010 10:26
Bonjour voila j'avais un exercice a faire pour lundi que je viens de terminé et je voudrais savoir si ce que j'ai fait est correct.
Exercice:
Soient deux entiers naturels &=2n+1 et b=n-5 avec n>5.On pose delta=pgcd(a,b)
1) Montrer que delta divise 11
2)Déterminer selon les valeur de l'entier n le pgcd de a et b
Réponse:
1) delta/a et delta/b donc delta/ka+k'b avec k=1 et k'=-2
donc delta/2n+1-2(n-5)
donc delta/11
D'ou delta=1 ou 11
2) si delta=11 alors 11/a et 11/b donc b est congru a 0 modulo 11
donc n-5 congru a 0 modulo 11
donc n congru a 5 modulo 11
Réciproquement si n est congru a 5 modulo 11 alors a congru a 2*5+1 donc a congru a 11 modulo 11 donc a 0 modulo 11
et b congru a 5-5 modulo 11 donc a 0 modulo 11
donc 11 est un diviseur commun de a et b
En résumé delta=11 ssi n est congru a 5modulo11
et delta=1 ssi n est congru a 0,1,2,3,4,6,7,8,9,10 modulo 11
Merci pour votre réponse
Exercice:
Soient deux entiers naturels &=2n+1 et b=n-5 avec n>5.On pose delta=pgcd(a,b)
1) Montrer que delta divise 11
2)Déterminer selon les valeur de l'entier n le pgcd de a et b
Réponse:
1) delta/a et delta/b donc delta/ka+k'b avec k=1 et k'=-2
donc delta/2n+1-2(n-5)
donc delta/11
D'ou delta=1 ou 11
2) si delta=11 alors 11/a et 11/b donc b est congru a 0 modulo 11
donc n-5 congru a 0 modulo 11
donc n congru a 5 modulo 11
Réciproquement si n est congru a 5 modulo 11 alors a congru a 2*5+1 donc a congru a 11 modulo 11 donc a 0 modulo 11
et b congru a 5-5 modulo 11 donc a 0 modulo 11
donc 11 est un diviseur commun de a et b
En résumé delta=11 ssi n est congru a 5modulo11
et delta=1 ssi n est congru a 0,1,2,3,4,6,7,8,9,10 modulo 11
Merci pour votre réponse