SOS-MATH

Bonjour, on vient de commencer la fonction exponentielle et j'ai un peu de mal à faire cet exercice :

Pour tout réel x on pose : g(x) = \(\frac{(e^x)+(e^-x)}{2}\) et h(x) = \(\frac{(e^x)-(e^-x)}{2}\)
1.Démontrez que [g(x)]² - [h(x)]² =1.
2. Démontrez que g(2x) = 2 [g(x)]² -1 et que h(2x) = 2g(x) * h(x).

Pour la question 1 je sais qu'il faut montrer que [g(x)]² - [h(x)]² = e^0 mais je ne sais pas comment faire.
J'ai commencé par écrire que c'était égal à : (\(\frac{(e^x)+(e^-x)}{2}\))² - (\(\frac{(e^x)-(e^-x)}{2}\))²

= (\(\frac{(e^x)+(1/e^x)}{2}\))² - (\(\frac{(e^x)-(1/e^x)}{2}\))²
Mais je ne sais pas comment "distribuer" le carré, est-ce qu'on doit considérer ça comme une identité remarquable ou c'est pas possible car e est une fonction et non un réel ? Pour la 2 je ne sais pas non plus comment faire.

Merci beaucoup.

Bonjour,
\(g^2(x)-h^2(x)=\left(g(x)+h(x)\right)\left(g(x)-h(x)\right)\).
Ensuite, cela fonctionne bien, puisqu'on trouve \(g(x)+h(x)=e^x\) et ...
A vous de continuer.
A bientôt.

Bonsoir,

D'accord donc je trouve que c'est égal à \(e^x\) * e^(-x) = \(e^0\) = 1. C'est ça ?

Mais ensuite pour la question suivante je n'y arrive pas non plus :
J'ai g(2x) = ((e^(2x) + e^(-2x))/2 puis dans ça je remplace e^(-2x) par 1/e^(2x) mais je n'arrive pas à simplifier ça pour trouver ce qui est demandé.

Merci de votre aide.

Bonjour Nikita,
Pour la première question, tout va bien.
Pour la deuxième question, je vous conseille de partir de \(2(g(x))^2-1\).
Cela donne \(2\frac{(e^x+e^{-x})^2}{4}-1\).
N'oubliez pas aussi que \((e^x)^2=e^{2x}\).
A bientôt.