Fonctions

[Marjolaine]

Bonjour j'ai un exercice plutôt long pour lundi mais il me manque quelques réponses.
1.Étude d'une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur R par g(x)= (x^3) -3x-3.
a) Étudier les variations de g. Ça c'est fait.
b) Démontrer que g(x)=0 admet dans R une unique solution que l'on note a. Déterminer un encadrement de a d'amplitude \(10^{-2}\). Ça aussi c'est fait et je trouve que a est compris entre 2,10 et 2,11.
c) Déterminer le signe de g(x) en fonction des valeurs de x. Ça c'est ok.

2.Soit la fonction f définie sur ]1;+00[ par f(x) = \(\frac{(2x^3)+3}{(x^2)-1}\), de courbe représentative C(f).
a) Démontrer que f '(x) est du signe de x * g(x). Alors là j'ai un problème que je vais vous expliquer à la fin.
b) En déduire les variations de f.
c) Démontrer que C(f) admet une asymptote D en +00, donner une équation de D et préciser la position relative de D et C(f).
d) Déterminer en justifiant l'autre asymptote de C(f).
e)Tracer rapidement C(f).
f) Démontrer que f(a)= \(\frac{3}{a+1}\).

Pour la question 2.a) je trouve f '(x) =\(\frac{(2x^4)-(6x^4)-6x}{((x^2)-1)^2\) et x * g(x)=(x^4)-3x²-3x. Pour trouver le signe j'essaye de factoriser par x² mais c'est quoi b pour calculer le discriminant delta alors?
Je ne sais pas si vous me comprenez mais par exemple pour (2x^4)-(6x^4)-6x je factorise et tombe alors sur: x² ( 2x² - 6 - \(\frac{6x}{x^2}\)). Mais b=?

Merci d'avance si vous voulez bien m'aider.

[sos-math(21)]

Bonjour,
La $g(x)$ est la fonction que tu as obtenue précédemment.
Tu dois obtenir \(f^{,}(x)=\frac{2x^4-6x^2-6x}{(x^2-1)^2}\) et il faut chercher à factoriser le numérateur, disons par exemple par \(2x\) :
\(f^{,}(x)=\frac{2x\times(x^3-3x-3)}{(x^2-1)^2}\), et là on retrouve bien la fonction \(g\) du début :
\(f^{,}(x)=\frac{2x\times\,g(x)}{(x^2-1)^2}\), comme le dénominateur est un carré, il est toujours positif, donc il n'influence pas le signe de cette dérivée.
Au numérateur, le facteur 2 est positif donc n'influence pas le signe. Il reste \(x\times\,g(x)\) dont le signe donne le signe de la dérivée.
Ensuite l'étude de la fonction g te permet de faire un tableau de signe où tu recenses le signe de \(x\) sur une ligne, le signe de \(g(x)\) sur une autre ligne et tu auras le signe de la dérivée sur ta dernière ligne.

[Marjolaine]

Bonjour et merci pour votre aide,
Donc j'ai bien compris maintenant que f '(x) et x*g(x) sont du même signe.
Mais pour déterminer le signe de g(x) comment faire pour trouver quand g(x)=0 ? Est-ce-que dans le tableau il faut mettre a (de la question 1.b) ou il faut trouver la valeur exacte ?

[sos-math(21)]

Il me semble que tu as déjà trouvé cette valeur regarde les questions 1)b et 1c.
Dans un problème aussi long, les questions s'enchaînent, c'est-à-dire que l'on est souvent amené à utiliser les questions précédentes pour résoudre les question suivantes.
Ici, la partie 1 sert pour la partie 2.

[Marjolaine]

Oui mais j'ai juste un encadrement de a, je n'ai pas sa valeur exacte. Est-ce-que ça suffit ou je mets a à la place de la valeur exacte dans le tableau ?
Merci.

[sos-math(21)]

Oui cela suffit,
Tu mets \(a\) dans ton tableau et tu mets à côté de celui-ci l'encadrement trouvé auparavant. Cela suffit, tu as prouvé l'existence d'un tel réel donc, après, sa valeur, c'est secondaire.

[Marjolaine]

Bonjour, je bloque encore, à la question 2.c).
Quand je veux trouver la limite de \(\frac{(2x^3)+3}{(x^2)-1}\) en +00, c'est une forme indéterminée quand je ne garde que les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Donc j'essaie de factoriser par le terme le plus fort mais ça ne lève toujours pas l'indétermination j'ai toujours une F.I du type "+00/+00".

Merci d'avance.

[Marjolaine]

Bonjour,

J'ai tout réussi en fait sauf la dernière question.
Est-ce-que vous pouvez me donner des pistes pour cette question s'il vous plaît.

Merci beaucoup/

[sos-math(21)]

Je ne vois pas pourquoi tu dis que cela fait une forme indéterminée :
\(\frac{2x^3+3}{x^2-1}\approx\frac{2x^3}{x^2}\approx\,2x\) qui tend vers l'infini en l'infini.

[Marjolaine]

Oui je me suis trompée j'ai réussi à trouver.

Vous pourriez m'aider pour la dernière question par contre ?

Merci.

[sos-math(21)]

\(a\) est l'unique solution de \(x^3-3x+3=0\) donc \(a^3-3a+3=0\) donc en particulier \(a^3=3a-3\)
\(f(a)=\frac{2a^3+3}{a^2-1}=\frac{2\times(3a-3)+3}{(a+1)(a-1)}=\) tu développes et tu refactorises et cela se simplifie.