Questions idépendantes suites/récurrences

[Nikita]

Bonjour, j'ai un exercice avec plusieurs questions indépendantes mais je n'arrive pas à toutes les résoudre.

1.Déterminer les sens de variations des suites:
a) U(n)= -\(\frac{3^(2n+1)}{5^n}\).
b) C'est une autre suite dont j'ai trouvé le sens de variation.
2.Déterminer las limites en -00 de :
a) J'ai réussi avec cette fonction.
b) \(\sqrt{(x^2) +2x}\) +x.
3) Soit g la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x\(\sqrt{x-(x^2)}\).
a)Démontrer que f est dérivable sur ]0;1[ et calculer f '(x).
b)Étudier la dérivabilité en 0 et en 1.
5.C'est une récurrence que j'ai terminée.

Pour la première question j'ai essayé de faire : U(n+1) - U(n) ; U(n+1)/U(n) mais je reste bloquée à chaque fois. J'ai aussi tenté une récurrence mais elle ne peut pas aboutir.
Pour la 2.b) je sais qu'il faut utiliser le valeur absolue mais je ne sais pas comment débuter et où je dois l'utiliser.
Pour la 3 j'ai juste f '(x).

[sos-math(21)]

Bonjour,
Commençons par la suite \((u_n)\) :
on forme la différence \(u_{n+1}-u_n=\frac{-3(2(n+1)+1)}{5^{n+1}}-\frac{-3(2n+1)}{5^n}\) on met au même dénominateur en multipliant la deuxième fraction par 5 :
\(u_{n+1}-u_n=\frac{-3(2(n+1)+1)}{5^{n+1}}-\frac{-15(2n+1)}{5^{n+1}}\) soit en développant les numérateurs :
\(u_{n+1}-u_n=\frac{-6n-9}{5^{n+1}}-\frac{-30n-15}{5^{n+1}}\)
On calcule les numérateurs et on doit obtenir une fraction comme \(\frac{24n+6}{5^{n+1}}\) qui est positive (car n est positif) donc on a montré que la différence est positive donc que la suite est croissante.

[Nikita]

Bonjour,

Ah d'accord , merci beaucoup.
Vous pourriez me donner des pistes pour la question 2.b) s'il vous plaît ? Je ne sais pas comment commencer et on ne peut pas faire la quantité conjuguée si on n'a pas de fraction non ?

[sos-math(21)]

Bien sûr que si !
N'importe quel nombre est une sorte de fraction : \(a=\frac{a}{1}\) donc ici : \(\sqrt{x^2+2x}+x=\frac{\sqrt{x^2+2x}+x}{1}\) et ensuite expression conjuguée, cela peut lever l'indéterminée. Je te laisse faire

[Nikita]

D'accord en faisant l'expression conjuguée j'obtiens \(\frac{(x^2)-sqrt{(x^2)+2x}}{sqrt{(x^2)+2x}-x}\).

Mais maintenant je sais pas ce que je dois faire avec, est-ce-que c'est égal à \(\frac{(x^2)-x+sqrt{2x}}{2x}\) ?

[sos-math(21)]

Je ne suis pas d'accord avec ton résultat, l'intérêt de la forme conjuguée est de faire disparaître la racine carrée :
tu devrais avoir \(\frac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}-x}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}\) ensuite tu factorises par x (attention, il faudra mettre des valeurs absolues avec les racines)

[Nikita]

J'ai réussi à retrouver la bonne réponse, donc quand je factorise et que je simplifie ça me donne : \(\frac{2x}{sqrt{(x^2)(1+((2x)/(x^2))-x}}\).

Quand je simplifie ça j'ai \(\frac{2}{sqrt{1+(2/x)}-1}\).
Je ne vois pas où il faut placer la valeur absolue pour trouver la limite.
Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Oui, il faut faire attention à la racine carrée car tu es dans \(\mathbb{R}^{-}\), donc quand tu écris ce que tu as écrit au début :
\(f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})}-x}=\) le \(x^2\) qui sort de la racine sort normalement en \(|x|\) et comme on est sur \(\mathbb{R}^{-}\), on a \(|x|=-x\) donc \(f(x)=\frac{2x}{-x\sqrt{(1+\frac{2}{x})}-x}\), donc en simplifiant par x, on a un quotient qui doit tendre vers -1.
A toi de terminer les calculs