SOS-MATH

Bonjour
J' ai besoin d' aide pour ce DM, je n' ai aucune idée ! Aidez moi s' il vous plait !
Intitulé:

- Les règles de reproduction chez les abeilles sont telles que l' abeille femelle a un père et une mère tandis que l' abeille mâle n' a qu' une mère. Soit Un le nombre d' ancêtres d' une abeille mâle à la génération : ainsi U1=1 , U2=2 et U3=3 .
Soit Fn le nombre d' ancêtres femelles et Mn le nombre d' ancêtre mâle à la génération n de cette abeille mâle. Alors Un= Fn+Mn

1) a/ Montrer que Un= F(n+1) et que M(n+1)= Fn
b/En déduire U(n+1)= Un + Fn = Un + U(n-1)
Une suite telle que (Un) est dite suite de Fibonacci.

2) On considère la suite de Fibonacci telle que: U0= U1= 1 et U(n+2)= U(n+1) + Un pour tout n∈ℕ
a/ Montrer que pour tout n∈ℕ ,Un≥n . En déduire la limite de la suite (Un) .
b/Établir par récurrence que, quel que soit le naturel n, (Un)²= U(n-1)X U(n+1)+(-1)^n

Bonsoir Bastien,

1)a) A la génération n, on a Fn ancêtre femelle et Mn ancêtre mâle donc à la génération n+1 on a Fn + Mn ancêtre femelle et Fn ancêtre mâle, en raison des règles de reproduction.
Donc F(n+1) = Fn + Mn et M(n+1) = Fn.
De plus, Fn + Mn = Un donc F(n+1) = Un.

b) C'est une conséquence du 1a) !

2a) tu peux essayer une récurrence pour démontrer que Un >= n.

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour!
Merci j' y suis arrivé ( non sans peine!)

Il y a une dernière chose que je ne comprend pas:
Si on pose Vn= U(n+1) / Un.
Comment montrer que V(n+1)-Vn= (-1)^n / (Un X U(n+1))

Bastien,

V(n+1)-Vn te donne une différence de deux fractions ... donc il faut les réduire au même dénominateur puis utiliser la formule donnée (Un²= ....)

SoSMath.

merci mais ici V(n+1)= U(n+2) / U(n+1) ? C' est bien cela ?

Oui Bastien c'est exact !

SoSMath.

Ce que j' ai fait pour l' instant:
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[U(n+1)+Un-U(n+1)] / U(n+1)Un
=Un / U(n+1)Un
=(Un)² / (U(n+1)Un)²
=[U(n-1)U(n+1)+(-1)^n] / (U(n+1)Un)(U(n+1)Un)
Mais là je suis bloqué car on ne peut plus simplifier. Je me suis peut être trompé dans mon calcul?

Ce que j' ai fait pour l' instant:
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[U(n+1)+Un-U(n+1)] / U(n+1)Un
=Un / U(n+1)Un
=(Un)² / (U(n+1)Un)²
=[U(n-1)U(n+1)+(-1)^n] / (U(n+1)Un)(U(n+1)Un)
Mais là je suis bloqué car on ne peut plus simplifier. Je me suis peut être trompé dans mon calcul?

Bastien,

attention à ton addition de fraction ....
tui as trouvé :
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[U(n+1)+Un-U(n+1)] / U(n+1)Un ce qui est faux ....

SoSMath.

ha exact désolé!
donc V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
=[(U(n+1)+Un)Un - (U(n+1))(U(n+1))] / U(n+1)Un
=[U(n+1)Un + (Un)² - (U(n+1))² ] / U(n+1)Un
=[U(n+1)Un + U(n-1)U(n+1) + (-1)^n - (U(n+1))² / U(n+1)Un
Est ce que ce calcul est correct ou non, pour l' instant ?

Bastien,

c'est mieux comme cela !
Par contre il est préférable de laisse U(n+2) dans tes calculs .... pourquoi ?
Car dans tes calculs tu trouves (U(n+1))² et (U(n+1))² = u(n+2)* ..... (à compléter en utilisant la formule donnée).

SoSMath.

J' ai trouvé mais différemment:
V(n+1)-Vn = [U(n+2)/U(n+1)] - [U(n+1)/Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - [U(n+1)]²] / [U(n+1)Un]
V(n+1)-Vn = [U(n+2)Un - UnU(n+2)+(-1)^n] / [U(n+1)Un] car (U(n+1))²= UnU(n+2)+(-1)^n
V(n+1)-Vn = (-1)^n / [U(n+1)Un]
Comment peut on en déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers + l' infini ?
Merci beaucoup de votre aide!

C'est bien Bastien,

En principe tu connais la limite de Un, donc celle de U(n+1), donc celle de U(n)U(n+1), ...

SoSMath.

La limite de Un est + l' infini donc celle de V(n+1)-Vn est également + l' infini.
c' est bon?