fonction exponentielle

[Marc]

Bonjour,
J'ai un DM à faire pendant les vacances et j'ai un exo assez compliqué à faire.
Voici l'énoncé:
On se propose d'étudier la fonction f définie sur ]0;+ l'infini[ par : f(x) = (x+1) exp(-1/x)

1- Variations de f
a) Déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+ l'infini[
b) Etudier le sens de variation de f.
c) Déterminer la limite de f en + l'infini.

2- Etude d'une fonction auxiliaire
Soit phi la fonction définie sur [0;+ l'infini[ par phi(u) = 1 - (1+u) exp(-u)
a) Calculer la dérivée de phi
b) prouver que, pour tout u supérieur ou égal à 0 :
0 inférieur ou égal à phi'(u) inférieur ou égal à u
c) En déduire que pour tout u supérieur ou égal à 0,
0 inférieur ou égal à phi (u) inférieur ou égal à u²/2

Voilà donc j'ai des questions ensuite mais le sujet de mon problème est pour la question 2b) et 2c). J'aimerais avoir quelques pistes parce que là je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Qu'avez-vous trouvé pour la dérivée de phi ?
Si votre dérivée est juste, la suite de l'exercice ne présente pas de réelle difficulté.
Remarque : \(e^{(-u)}=\frac{1}{e^u}\leq1\)

Bonne continuation.

[Marc]

Je trouve phi'(u)= -exp(-u) (-u)
Mais ce que je ne comprend pas c'est prouver.
Cordialement
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Vous avez donc phi'(u)=uexp(-u). Comme u est positif donc exp(-u) est compris entre 0 et 1. La suite de l'encadrement ne devrait pas poser de problème.

Bonne continuation.

[Marc]

Merci pour cette question j'ai compris.
Cependant pour la question 2c) on me dit que je pourrais étudier la fonction phi(u)-u²/2 mais je ne vois pas le rapport.
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marc,

Effectivement, c'est une technique à connaitre, pour comparer deux quantités, on étudie le signe de leur différence.
Cependant ici, si vous avez étudié les intégrales, c'est plutôt de ce côté qu'il faut rechercher l'explication.
\(0\leq~phi(u)\)'\(~\leq~u\) donc \(\int_{0}^{u}0dt\leq~\int_{0}^{u}phi(t)\)'\(dt~\leq~\int_{0}^{u}tdt\)

Bonne continuation.

[Marc]

Non je n'ai pas étudié les intégrales.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Dans ces conditions, il faut étudier la fonction phi(u)-u²/2 ... Lors du calcul de la dérivée vous verrez le lien avec les résultats de la question précédente.

Bonne étude.

[Marc]

En effet je retrouve la meme inégalité que celle de la question précedente mais quel est le lien?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Reprenons les deux éléments à démontrer. \(0\leq~phi\) et \(phi\leq~\frac{u^2}{2}\).
Pour la première inégalité, vous savez que phi' est positive (question b) donc phi est croissante. Calculez phi(0) et la réponse est démontrée.
Pour la deuxième inégalité, vous devez étudier le signe de (phi(u)-u²/2). Pour cela, on dérive cette nouvelle fonction, on trouve phi'(u)-u.
Lors de la question b), vous avez démontré que phi'(u)-u<=0 donc notre fonction (phi(u)-u²/2) est décroissante. Là encore calculez (phi(0)-0²/2) et la fin sera proche.

Bonne continuation.

[Marc]

Merci je vais continuer cela demain au calme et je vous recontacterais.
Merci de m'avoir accordé de votre temps et bonne soirée.
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonne fin de soirée et bonne continuation pour demain.

[Marc]

Merci c'est bon j'ai compris ce matin au calme.
Cependant j'ai une troisième et quatrième partie. Commençons par la troisième que ressemble à la seconde.
a) A l'aide de l'inégalités de 2)c) établir que pout tout x>0 :
0 est inférieur ou égal à x-f(x) qui est inférieur ou égal à 1/2x

b) En déduire que Cf admet une asymptote en + l'infini et préciser sa position.

Pour la a), j'ai commencé par dire que f'(x)>0 pour tout x>0 donc f est strictement croissante.
On a aussi f(x)>0 pour tout x>0
Ensuite je me suis dit qu'il fallait étudier la fonction f(x)-1/2x
La dérivée donne f'(x) + 1/2x². Son signe est positif pour tout x>0
Mais après je bloque complètement.
Cordialement
Marc

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Il te reste donc à démontrer que (x-f(x)) qui est inférieur ou égal à 1/2x. Pour cela, je te propose de regarder le résultat de (1-phi(u)).
Lorsque tu auras l'expression de (1-phi(u)), recherche la valeur de cette fonction pour u=1/x et essaie de rapprocher cette nouvelle expression de f(x).

Bonne recherche.

[Marc]

Bonjour,
Voilà j'ai fait ce que vous m'avez dit mais je ne trouve pas ce qu'il faut,j'ai du faire une erreur dans mes calculs mais je ne trouve pas après de multiples vérification:
pour tout u>(ou égal)0
phi(u)<(ou égal)u²/2 <=> -phi(u)>(ou égal) -u²/2
<=> 1 -phi(u)>(ou égal) -u²/2 +1

On pose u=1/x
on a donc : 1-phi(1/x) >(ou égal) (-1/2x²) +1 <=> (1+(1/x)) exp(-1/x) > (ou égal) (-1/2x²) +1
<=> x - (1+(1/x)) exp(-1/x) <(ou égal) 1- (1/2x²) + x

Mais c'est ici que je bloque il doit y avoir une erreur dans mes calculs...
Cordialement
Marc