SOS-MATH

Bonjour,

j'ai un problème concernant l'exercice suivant.

"L'entier 10^n-(-1)^n est-il un multiple de 11 pour tout entier naturel n?"

*J'ai d'abord initialisé en montrant que la proposition est vraie pour n=0

*J'ai ensuite supposé que la proposition est vraie pour un entier k fixé (k supérieur ou égal à 0), c'est à dire que : Uk = 10^k-(-1)^k=11p [avec p appartenant aux entiers naturels ou relatifs]

*Je dois maintenant vérifier que la proposition est toujours est vraie pour un entier k+1, c'est à dire que : Uk+1 = 10^k+1-(-1)^k+1=11p' [avec p' appartenant aux entiers naturels ou relatifs]


Mais c'est pour prouver ceci que se pose mon problème...
J'ai réussi à écrire que :

Uk+1 = 10^k+1-(-1)^k+1
=10^k.10 - (-1)^k.(-1)
=10^k.10 + (-1)^k

Mais je n'arrive pas à aller plus loin. Je pense qu'il faut trouver un résultat ou un terme est factorisé par 11 mais je n'y arrive pas. J'ai essayé de remplacer 10^k par 11p+(-1)^k et (-1)^k par -11p+10^k d'après la proposition précédante mais ça n'a abouti à rien... Je ne vois vraiment plus comme continuer..

J'espère que vous pourrez me venir en aide.

Merci par avance

Bonjour,
ta démarche est correcte, il faut juste se débrouiller pour faire apparaître le rang n dans l'expression du terme de rang n+1 :
on commence par écrire comme tu l'as fait :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}\) et c'est là que ça se corse : ce qui nous gêne c'est le \(10^n\), c'est un gros terme, il faut le faire "sauter" avec l'hypothèse de récurrence, on fait donc de la magie :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}=10\times(10^n-(-1)^n)+10\times(-1)^n-(-1)^{n+1}\), ensuite on a a le premier terme qui est divisible par 11 par hypothèse, et le résidu doit se factoriser par \((-1)^n\) laissant apparaître le facteur 11... donc tout est divisible par 11

Merci pour votre réponse claire et rapide!

Bonne continuation!